$\S3.1$ 曲面上の微分
内在幾何(リーマン幾何)は，曲面の持つ性質に基づいて曲面を研究することです．ですから曲面の法線ベクトルは存在してないので，
曲面上で微分を行うとすると困難が生じます．この説明から始めます．
ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$における曲線の速度(接ベクトル)，加速度を見てみよう．
曲線を
$(x(t),y(t))$
とする．速度ベクトルは
$\dfrac{(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))-(x(t),y(t))}{\Delta t}$
$=\left(\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t},\dfrac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}\right)$
$\to (x'(t),y'(t)) \ \ (\Delta t \to 0)$
である．2点間の差をベクトルで近似するが，これは曲面でも問題は起こらない．
次に加速度を求めよう．
$\dfrac{(x'(t+\Delta t),y'(t+\Delta t))-(x'(t),y'(t))}{\Delta t}\cdots (*)$
$=\left(\dfrac{x'(t+\Delta t)-x'(t)}{\Delta t},\dfrac{y'(t+\Delta t)-y'(t)}{\Delta t}\right)\cdots (**)$
$\to (x''(t),y''(t)) \ \ (\Delta t \to 0)$
となるが，これはこのままでは曲面に持ち込めない．
$(*)$から$(**)$の変形で
$P(t)$のベクトル$\boldsymbol{u}=(x'(t),y'(t))$と$Q(t+\Delta t)$のベクトル$\boldsymbol{v}=(x'(t+\Delta t),y'(t+\Delta t))$
の差$\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}$は，$\boldsymbol{v}$を平行移動し始点をそろえて計算している．
ユークリッド平面では，異なる始点のベクトルの差は片方を平行移動して始点をそろえて計算するが，
曲面上ではそうはいきません．
曲面上では異なる始点のベクトルの差をそのように計算するかが問題です．言い方を変えれば$P(x(t),y(t))$と
$P(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))$の接ベクトル間にどのような同一視を定めるかが必要です．
異なる2点の接ベクトル空間に同一視を与えることを接続を与えるという．曲面で微分を行うとき，
この接続の問題を解決する必要があります．
この問題の解決がその節の目標です．
接続を与えれば微分が定義できますが，本稿では逆に，
まず微分を定義して，その後その微分に適合した接続が定まるという流れで説明します．
ガウスがこの問題をどのように解決したかを振り返ります．
曲面
$\boldsymbol{f}:U\subset \mathbb{R^2}\to \mathbb{R}^3,(u^1,u^2)\mapsto \boldsymbol{f}(u^1,u^2)=\begin{pmatrix}f^1(u^1,u^2)\\f^2(u^1,u^2)\\
f^3(u^1,u^2))\end{pmatrix}$
上の弧長変数の曲線
$C:\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s))$
を次の様に扱った．
この曲線の曲率を$k(s)$，単位主法線ベクトルを$\boldsymbol{\beta}$とすると，
$k(s)\boldsymbol{\beta} =\dfrac{d^2\boldsymbol{f}}{ds^2}=\boldsymbol{f}_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}+\boldsymbol{f}_i\dfrac{d^2u^i}{ds^2}$
$=(\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds})\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}\boldsymbol{n}$
曲率ベクトル$k(s)\boldsymbol{\beta}$の接平面への正射影
$(\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds})\boldsymbol{f}_k$
を，曲面$\boldsymbol{f}$上の曲線$C$の測地曲率ベクトルといい，測地曲率が$0$の曲線，すなわち
微分方程式
$\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \ \ (k=1,2)\cdots (*)$
を満たす曲線$\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s))$を曲面$\boldsymbol{f}$上の測地線と定めた．
ここで，
$\boldsymbol{f}_i=(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^3}{\partial u^i})$
$\boldsymbol{f}_{ij}=(\dfrac{\partial ^2f^1}{\partial u^i\partial u^j},\dfrac{\partial ^2f^2}{\partial u^i\partial u^j},\dfrac{\partial ^2f^3}{\partial u^i\partial u^j})$
であり，微分は$\mathbb{R}^3$のベクトルとして行っている．
ガウスは曲面$\boldsymbol{f}$を3次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$の部分集合と考え，
微分は$\mathbb{R}^3$で行い，微分した結果が接ベクトルにならないときは接平面に正射影するという方法を取っています．
曲面$\boldsymbol{f}$を$\mathbb{R}^3$の部分集合という立場を捨て，$I$を曲面の第1基本形式とし$(U,I)$だけで微分を定義する必要があります．
これから述べるその方針は次の通りです，
$\mathbb{R}^3$で微分を行い接平面に正射影するという演算の満たす性質を調べ，その中からいくつかの条件を選びだす．
逆にその条件を満たす演算はただ一つに定まり，
この演算を$(U,I)$における共変微分と定める．
さらに，この共変微分の元，曲線に沿ったベクトルの平行性が定義される．
曲面上のベクトル場を定義する．
曲面$\boldsymbol{f}$上の各点$P$に$P$における接ベクトルを一つ指定したものをベクトル場という．
例
ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$にベクトル場$X(x,y)$を
$X(x,y)=(-y,x)$
で定義すると，ベクトル場は右図である．
なお，ベクトルの大きさは同じに書いてあるが外に行くほど大きい．図では色が変わっている．ちなみに，
$X(1,0)=(0,1),X(3,0)=(0,3)$
である．
定義
曲面$\boldsymbol{f}$上にベクトル場$X$が与えられている．曲面$\boldsymbol{f}$上の曲線$C$の接ベクトル
がベクトル場$X$の定めるベクトルと等しいとき，この曲線をベクトル場$X$
の積分曲線という．
命題
曲面上にベクトル場が与えられている．
この時，曲面上の任意の点に対してこの点を通る積分曲線がただ一つ存在する．
証明
曲面を$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$,ベクトル場を
$X=X^1(u^1,u^2)\boldsymbol{f}_1+X^2(u^1,u^2)\boldsymbol{f}_2$
とする．
曲線
$C:\boldsymbol{f}(u^1(t),u^2(t))$
が積分曲線である条件は
$\dfrac{d\boldsymbol{f}(u^1(t),u^2(t))}{dt}=\boldsymbol{f}_1\dfrac{du^1(t)}{dt}+\boldsymbol{f}_2\dfrac{du^2(t)}{dt}$
$=X^1(u^1(t),u^2(t))\boldsymbol{f}_1+X^2(u^1(t),u^2(t))\boldsymbol{f}_2$
$\boldsymbol{f}_1\boldsymbol{f}_2$が1次独立より
$\begin{cases}
\dfrac{du^1}{dt}=X^1(u^1(t),u^2(t))\\
\dfrac{du^2}{dt}=X^2(u^1(t),u^2(t))
\end{cases}
$
となる．
この微分方程式は任意の初期条件でただ一つの解をもつことが知られている．
したがって，任意の点$P$を通る積分曲線がただ一つ存在する．
例えば，上で挙げた例の微分方程式は
$\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=-y\\
\dfrac{dy}{dt}=x
\end{cases}$
である．
$x=r\cos t,y=r\sin t$
が解であることはすぐわかる．解の一意性より，原点以外の点を通る積分曲線は，その点を通る原点を中心とする円である．
曲面$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$上にベクトル場
$X=X^1\boldsymbol{f}_1+X^2\boldsymbol{f}_2$
が定義されている．
曲面$\boldsymbol{f}$上で定義されている関数$h$に対してのベクトル場$X$の作用を定義する．
曲面上では，微分積分学で用いる偏微分の代わりに，ここで定義するベクトル場の作用が用いられる．
まず$X$の$h$への作用を次のように定義する．
定義
曲面$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$でベクトル場$X=X^1\boldsymbol{f}_1+X^2\boldsymbol{f}_2$が定義されており
$h$を曲面$\boldsymbol{f}$上の関数とする．
このとき，$X$の$h$への作用$Xh$を
$Xh=(X^1\boldsymbol{f}_1+X^2\boldsymbol{f}_2)h=X^1\dfrac{\partial h}{\partial u^1}+X^2\dfrac{\partial h}{\partial u^2}$
と定義する．
$(u^1,u^2)$平面で定義でき$\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2$は関係ないことに注意する．
以後ベクトル場$X$の関数$h$への作用$Xh$を$d_Xh$と表す．
$\mathbb{R}^2$で定義された関数$f(x,y)$の偏微分$\frac{\partial f}{\partial x}$は,ベクトル場$\frac{\partial }{\partial x}$の
積分曲線である座標軸$x$軸と平行な直線を$g(t)$とした
$\dfrac{df(g(t))}{dt}=\dfrac{df(t,a)}{dt}(=\dfrac{\partial f}{\partial x})$
である．
同じように，ベクトル場の作用をベクトル場の積分曲線を用いてあらわす．
命題
曲線$C:u^1=u^1(t),u^2=u^2(t)$が曲面$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$上のベクトル場$X$の積分曲線とする．このとき,曲面上の関数$h$に対して
曲線$C$上において
$\dfrac{h(u^1(t),u^2(t))}{dt}=Xh|_C$
が成り立つ．
証明
ベクトル場$X$を
$X=X^1\boldsymbol{f}_1+X^2\boldsymbol{f}_2$
と置くと，積分曲線の定義より
$\dfrac{du^i(t)}{dt}=X^i \ \ (i=1,2)$
一方
$\dfrac{dh(u^1(t),u^2(t))}{dt}=\dfrac{\partial h}{\partial u^i}\dfrac{du^i}{dt}$
$=X^i(u^1(t),u^2(t))\dfrac{\partial h}{\partial u^i}$
$=Xh|_{(u^1(t)u^2(t))}$
次に，曲面上でベクトル場のベクトル場への作用を考える．
$\mathbb{R}^3$におけるベクトル場$X$のベクトル場$Y$への作用を$d_XY$と表す．この$d$を後で学ぶ共変微分と区別して普通微分と呼ぶ．
曲面
$\boldsymbol{f}:U(\subset \mathbb{R}^2)\to \mathbb{R^3}$
$\boldsymbol{f}=(f^1,f^2,f^3)$
とすると
$\boldsymbol{f}_i(=\dfrac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial u^i})=(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^3}{\partial u^i})$
であり，
$\boldsymbol{f}_{ij}(=\dfrac{\partial ^2\boldsymbol{f}}{\partial u^i\partial u^j})=(\dfrac{\partial ^2f^1}{\partial u^i\partial u^j},
\dfrac{\partial ^2f^2}{\partial u^i\partial u^j},\dfrac{\partial ^2f^3}{\partial u^i\partial u^j})$
である．さらに曲面の基本方程式より
$\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n}$
が成り立つ．
曲面$\boldsymbol{f}$上のベクトル場$X$は$\mathbb{R}^3$で考えれば
$X=(X_x,X_y,X_z)$
であり，一方曲面$\boldsymbol{f}$上で考えれば
$X=X^1\boldsymbol{f}_1+X^2\boldsymbol{f}_2$
となる．いずれの場合でもベクトルの微分はすべて$\mathbb{R}^3$で行っている．
$\mathbb{R}^3$において2つのベクトル場
$X=(X_x,X_y,X_z),Y=(Y_x,Y_y,Y_z)$
に対して
$d_XY=(d_XY_x,d_XY_y,d_XY_z)$
$=(X_x\dfrac{\partial Y_x}{\partial x}+X_y\dfrac{\partial Y_x}{\partial y}+
X_z\dfrac{\partial Y_x}{\partial z},
X_x\dfrac{\partial Y_y}{\partial x}+X_y\dfrac{\partial Y_y}{\partial y}+X_z\dfrac{\partial Y_y}{\partial z},$
$X_x\dfrac{\partial Y_z}{\partial x}+X_y\dfrac{\partial Y_z}{\partial y}+X_z\dfrac{\partial Y_z}{\partial z})$
である．
同じことを曲面$\boldsymbol{f}$上で行う．
曲面$\boldsymbol{f}$上のベクトル$\boldsymbol{f}_i$は$U$で考えれば$\frac{\partial }{\partial u^i}$のことである．
$\boldsymbol{f}_{ij}=d_{\boldsymbol{f}_j}\boldsymbol{f}_i=d_{\frac{\partial}{\partial u^j}}\boldsymbol{f}_i
=d_{\frac{\partial}{\partial u^j}}\dfrac{\partial }{\partial u^i}$
であることに注意する．
2つのベクトル$X,Y$が
$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$のとき$d_YX$を計算する．
$d_YX=d_{Y^i\boldsymbol{f}_i}(X^j\boldsymbol{f}_j)$
$=Y^jd_{\boldsymbol{f}_j}(X^i\boldsymbol{f}_i)$
$=Y^j(\dfrac{\partial X^i}{\partial u^j}\boldsymbol{f}_i+X^i\boldsymbol{f}_{ij})$
$=Y^j(\dfrac{\partial X^k}{\partial u^j}\boldsymbol{f}_k+X^i(\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n}))$
$=(Y^j\dfrac{\partial X^k}{\partial u^j}+X^iY^j\Gamma_{ij}^k)\boldsymbol{f}_k+X^iY^jb_{ij}\boldsymbol{n}$
まとめると次のようになる．
$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$のとき
$d_YX=(Y^j\dfrac{\partial X^k}{\partial u^j}+X^iY^j\Gamma_{ij}^k)\boldsymbol{f}_k+X^iY^jb_{ij}\boldsymbol{n}$
ここで$b_{ij}$は曲面の第2基本量．
§3.2 共変微分
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