ここで，ガウスの行った曲面の研究方法， これを内在幾何，3次元以上をリーマン幾何という，に目を向けよう． これは曲面の第1基本形式だけに基づく，第2基本形式を用いない曲面の研究方法です．
これから，表記を簡略にするため，記号を少し変えます．
ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$における曲面$\boldsymbol{f}$を今までは$\boldsymbol{f}(u,v)$の様に媒介変数表示として$u,v$ を用いましたが，これからは媒介変数として$u^1,u^2$を用い
$S:\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$
とします．上付きの数字は，指数としては用いず，関数を区別するために用います.
例えば
$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)=(f^1(u^1,u^2),f^2(u^1,u^2),f^3(u^1,u^2))$
となります．もし指数を用いるときは括弧を用いて$(x^1)^2,(f^1(u^1,u^2))^3$等とします．
下付きの数字は，偏微分に用います．ただし，第一基本量$g_{ij}$，第二基本量$b_{ij}$だけは例外．
$\boldsymbol{f}_i=\dfrac{\partial \boldsymbol{f}(u_1,u_2)}{\partial u^i}=(\dfrac{\partial f^1(u^1,u^2)}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^2(u^1,u^2)}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^3(u^1,u^2)}{\partial u^i})$
$\boldsymbol{f}_{ij}=\dfrac{\partial ^2\boldsymbol{f}(u_1,u_2)}{\partial u^i \partial u^j} =(\dfrac{\partial ^2f^1(u^1,u^2)}{\partial u^i \partial u^j},\dfrac{\partial ^2f^2(u^1,u^2)}{\partial u^i\partial u^j}, \dfrac{\partial ^2f^3(u^1,u^2)}{\partial u^i\partial u^j})$
このように偏微分は$\mathbb{R}^3$のベクトルとして微分します．
曲面の単位法ベクトルは$\boldsymbol{n}$を用いる．すなわち
$\boldsymbol{n}=\dfrac{\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2}{|\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2|}=(n^1,n^2,n^3)$
$\boldsymbol{n}_i=\dfrac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^i}=(\dfrac{\partial n^1}{\partial u^i},\dfrac{\partial n^2}{\partial u^i} ,\dfrac{\partial n^3}{\partial u^i})$
第一基本量，第二基本量はそれぞれ$g_{ij},b_{ij}$を用いる．すなわち
$g_{11}=\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_1(=E),g_{12}=g_{21}=\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_2(=F),g_{22}=\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_2(=G)$
$b_{11}=\boldsymbol{f}_{11}\cdot \boldsymbol{n}(=L),b_{12}=b_{21}=\boldsymbol{f}_{12}\cdot \boldsymbol{n}(=M),b_{22}=\boldsymbol{f}_{22}\cdot \boldsymbol{n}(=N)$
である．なお
$\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{n}=0$であるから
$\boldsymbol{f}_{ij}\cdot \boldsymbol{n}=-\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{n}_j$
が成り立つ．
行列$G$を
$G=\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}$
とし，行列$G$の行列式を$g$とする．すなわち
$g=g_{11}g_{22}-(g_{12})^2(=EG-F^2)$
なお，$g$は$\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2$の定める平行四辺形の面積の2乗． $(\because |\boldsymbol{f}_1\times \boldsymbol{f}_2|^2=|\boldsymbol{f}_1|^2|\boldsymbol{f}_2|^2\sin ^2\theta =|\boldsymbol{f}_1|^2|\boldsymbol{f}_2|^2-(\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_2)^2)$
したがって$g > 0$である．
行列$G$の逆行列$G^{-1}$の成分を$g^{ij}$とする．すなわち
$G^{-1}=\begin{pmatrix}g^{11}&g^{12}\\ g^{21}&g^{22}\end{pmatrix}$
$=\dfrac{1}{g}\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\ -g_{21}&g_{11}\end{pmatrix}$
和についてはアインシュタイン規約を用いる．アインシュタイン規約とは，
単項式の中に同じ文字があれば，その文字について$1$と$2$の和を取る
ということ.例えば
$a_ib^{ij}=a_1b^{1j}+a_2b^{2j}$
となる．この規約にしたがって計算すると，$i$に意味はないので，しばしば変形において文字は変えられる．例えば
$a_ib^{ij}=a_kb^{kj}$

話を進めよう．
曲面
$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)=(f^1(u^1,u^2),f^2(u^1,u^2),f^3(u^1,u^2))$
上で考える．この曲面の第一基本形式$I$,第二基本形式$II$をそれぞれ
$I=g_{ij}du^idu^j$
$II=b_{ij}du^idu^j$
とする．曲面$\boldsymbol{f}$上の各点$P(u^1,u^2)$上で，３つの１次独立なベクトル
$\{\boldsymbol{f}_1(u^1,u^2),\boldsymbol{f}_2(u^1,u^2),\boldsymbol{n}(u^1,u^2)\}$
を考え，このベクトルを基底として$P$を始点とするベクトルを扱う．
$\boldsymbol{f}_{ij}(u^1,u^2)(=\dfrac{\partial ^2\boldsymbol{f}}{\partial u^i \partial u^j}),\boldsymbol{n}_i(=\dfrac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^i}) \ \ (1\leqq i,j\leqq 2)$
が$\{\boldsymbol{f}_1(u^1,u^2),\boldsymbol{f}_2(u^1,u^2),\boldsymbol{n}(u^1,u^2)\}$で表せれば，曲面の接ベクトルの微分が自由にできることになる．
これは，曲線論におけるフレネ座標系$\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$と同じである(次節で述べる)．
$\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma_{ij}^k\boldsymbol{f}_k+A_{ij}\boldsymbol{n}$
$\boldsymbol{n}_i=B_i^k\boldsymbol{f}_k+C_i\boldsymbol{n}$
と置いて，$\Gamma_{ij}^k,A_{ij},B_i^k,C_i$を求めればよい．
まず$\boldsymbol{f}_{ij}=\boldsymbol{f}_{ji}$であるから
$\Gamma _{ij}^k=\Gamma _{ji}^k$
である．
一つ一つ求めていく．
$b_{ij}=\boldsymbol{f}_{ij}\cdot \boldsymbol{n}=(\Gamma_{ij}^k\boldsymbol{f}_k+A_{ij}\boldsymbol{n})\cdot \boldsymbol{n}=A_{ij}$
より
$A_{ij}=b_{ij}$
つぎに$\Gamma_{ij}^k$を求める．
$\boldsymbol{f}_l\cdot \boldsymbol{f}_{ij}=\boldsymbol{f}_l\cdot (\Gamma_{ij}^k\boldsymbol{f}_k+A_{ij}\boldsymbol{n} )=g_{lk}\Gamma_{ij}^k$
ここで$\Gamma_{ijl}$を
$\Gamma_{ijl}=g_{lk}\Gamma_{ij}^k$
と定義する．このとき
$g^{lk}\Gamma_{ijl}=g^{lk}g_{lm}\Gamma_{ij}^m=\delta_m^k\Gamma_{ij}^m=\Gamma_{ij}^k$
となる．
ここで行った変形
$g_{lk}\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ijl},g^{kl}\Gamma_{ijl}=\Gamma_{ij}^k$
はしばしば用いられる．
$\Gamma_{ijk},\Gamma_{1j}^k$をChristoffel記号と呼ぶ．
$\boldsymbol{f}_{ij}\cdot \boldsymbol{f}_k=\Gamma_{ijk}$
となりました．
$\boldsymbol{f}_{ij}=\boldsymbol{f}_{ji}$
より
$\Gamma _{ijk}=\Gamma _{jik}$
が成り立つ．
$\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{f}_j=g_{ij}$であるから
$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}=\boldsymbol{f}_{il}\cdot \boldsymbol{f}_j+\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{f}_{jl}=\Gamma_{ilj}+\Gamma_{jli}\cdots(*)$
$i,j,l$をサイクリックにかえて
$\dfrac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}=\Gamma_{jil}+\Gamma_{lij}\cdots (**)$
$\dfrac{\partial g_{li}}{\partial u^j}=\Gamma_{lji}+\Gamma_{ijl}\cdots (***)$
$g_{ij},\Gamma_{ijl}$は$i,j$に関して対称であることに注意して$(**)+(***)-(*)$を計算すると
$2\Gamma_{ijl}=\dfrac{\partial g_{il}}{\partial u^j}+\dfrac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}- \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}$
$\therefore \Gamma_{ij}^k=g^{kl}\Gamma_{ijl}=\dfrac{1}{2}g^{kl}\left(\dfrac{\partial g_{il}}{\partial u^j}+\dfrac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}- \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)$
となる．$\Gamma_{ij}^k,\Gamma_{ijl}$は第１基本量だけの式，すなわち式の中に第2基本量が入っていないことに注意しよう．
なお，この変形は3次元である必要はない．ｎ次元でも計算の方法は変わらない．後で行う，リーマン幾何の基本定理でも同じ計算を行う．
つぎに
$\boldsymbol{n}_i=B_i^k\boldsymbol{f}_k+C_i\boldsymbol{n}$
の$B_i^k,C_i$を求める．
$\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{n}=1$であるから
$\boldsymbol{n}_i\cdot \boldsymbol{n}=0$
したがって，
$C_i=\boldsymbol{n}_i\cdot \boldsymbol{n}=0$
$\boldsymbol{n}_i\cdot \boldsymbol{f}_j=B_i^k\boldsymbol{f}_k\cdot \boldsymbol{f}_j=B_i^kg_{kj}$
一方
$\boldsymbol{f}_j\cdot \boldsymbol{n}=0$より
$\boldsymbol{f}_j\cdot \boldsymbol{n}_i=-\boldsymbol{f}_{ji}\cdot \boldsymbol{n}=-b_{ji}$
したがって，
$B_i^kg_{kj}=-b_{ij}
$
$B_i^tg_{tj}g^{jl}=-b_{ij}g^{jl}
$
左辺は
$B_i^t\delta_t^l=B_i^l$
したがって
$B_i^l=-b_{ij}g^{jl}$
したがって，
$\boldsymbol{n}_i=-b_{ij}g^{jk}\boldsymbol{f}_k$
となる．
まとめると次のようになる．