この講演でリーマンは定曲率の考察をしている．
球面は正の定曲率の曲面であるが，正の定曲率曲面が球面だけではない．例えば，ピンポン玉を赤道で半分に切って半球にすれば， 少しの力で簡単に形が変わるのに気が付く．ピンポン玉上に曲線を描き，形が変わっても曲線の長さが変わらないので，この変形は等長変形，すなわち第1基本形式 が変わらないので定曲率曲面です．
リーマンは定曲率曲面を回転面から作り説明している． ちなみに回転面は扱いやすいので例を作るときしばしば利用される．

$yz$平面上の曲線 $(0,v,f(v))$ を$z$軸の周りに回転することにより得られる曲面$\boldsymbol{F}$は
$\boldsymbol{F}(u,v)=(v\cos u,v\sin u,f(v))$
である．
$\boldsymbol{F}_u=(-v\sin u,v\cos u,0),\boldsymbol{F}_v=(\cos u,\sin u,f'(v))$
より
$E=v^2,F=0,G=1+f'(v)^2$
$\boldsymbol{F}_{uu}=(-v\cos u,-v\sin u,0),\boldsymbol{F}_{uv}=(-\sin u,\cos u,0),\boldsymbol{F}_{vv}=(0,0,f''(v))$
$\boldsymbol{n}=\dfrac{\boldsymbol{F}_u\times \boldsymbol{F}_v}{|\boldsymbol{F}_u\times \boldsymbol{F}_v|}=\dfrac{(f'(v)\cos u,f'(v)\sin u,-1)}{\sqrt{f'(v)^2+1}}$
より
$L=-\dfrac{vf'(v)}{\sqrt{f'(v)^2+1}},M=0,N=-\dfrac{-f''(v)}{\sqrt{f'(v)^2+1}}$
したがって，この回転面のガウス曲率$K(u,v)$は
$K(u,v)=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=\dfrac{f'(v)f''(v)}{v(f'(v)^2+1)^2}$
回転面を求めることは，回転面を定める$f(v)$を求めることである．この曲線を回転面の経線と呼ぶ．
ガウス曲率が定数$k$の曲面は，微分方程式
$\dfrac{f'(v)f''(v)}{v(1+f'(v)^2)^2}=k \cdots (*)$
を解けばよい． $f'(v)=y$と置けば変数分離形である．
$\dfrac{y}{(1+y^2)^2}\dfrac{dy}{dv}=kv$
したがって
$\displaystyle \int\dfrac{y}{(1+y^2)^2}dy=\int kvdv$
$-\dfrac{1}{2(1+y^2)}=\dfrac{kv^2}{2}+C$
$y$を$f'(v)$に戻すと
$\dfrac{1}{1+f'(v)^2}=-kv^2+C \cdots (**)$
積分定数$C$の値でいろいろな経線$f(v)$が現れる．それは等長同型4を参照．
$k=1,-1$の場合に経線$f(v)$を求めよう．
$\bullet k=1$のとき(ガウス曲率が$1$)
$(**)$より，積分定数$C > 0$である．
$f'(v)$について解くと
$f'(v)=\pm \sqrt{\dfrac{1-C+v^2}{C-v^2}}\cdots (***)$
$C=1$のとき
$f'(v)=\pm \dfrac{v}{\sqrt{1-v^2}}$
これは
$f(v)=\mp \sqrt{1-v^2}$
であり,求める回転面は球面である．
$C\neq 1$のとき$0 < C < 1,1 < C$で$f(v)$は変わる．それは定義域が変わることからもわかる．
いずれにしtも，$0 < v$のとき$(*)$より$f'(v),f''(v)$が同符号より，増加で下に凸か減少で上に凸である．
ただ，$(***)$を解くことは簡単でない（楕円積分）． ただグラフの形はパソコンで簡単に描ける（等長同型4を参照）．

$\bullet k=-1$のとき(ガウス曲率が$-1$のとき)
$(**)$で積分定数$C=0$の時は比較的簡単に計算できる．
$f'(v)=\pm \dfrac{\sqrt{1-v^2}}{v}$
$\displaystyle f(v)=\pm \int \dfrac{\sqrt{1-v^2}}{v}$
$v=\cos \theta$とおくと
$\displaystyle =\mp \int \dfrac{\sin ^2\theta}{\cos \theta }d\theta$
$=\mp (\log (\dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta} -\sin \theta )+C$
$C=0$の場合に求める．
このとき，$xz$平面の曲線
$x=\cos \theta ,$
$z=\log \dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta}-\sin \theta$
を$z$軸の周りに回転して得られる曲面が曲率$-1$の曲面の一つである，この曲面を擬球面と呼ぶ． 右図がそのグラフである．
Beltrami は擬球面上で双曲幾何を作り上げた．そのモデルは， $\mathbb{R}^3$の曲面による，言い方を変えればガウス流であるが，非ユークリッド幾何モデルの魁である．

ポアンカレは「科学と仮説」で
１つの面上に任意の図形を考える．この図形は折り畳みはできるが，伸ばすことができない布に書かれていて，布は この面にぴったりとついていて，その結果，布が移動して形を変えると，この図形のいろいろな線はその形は変わることが あっても長さは変わらないようになっていると想像しよう．一般には，この折り畳みはできるが伸ばすことのできない図形は この面を離れずに位置を変えることはできない．しかし特殊な面でこういう運動が可能なようなものが存在する．・・・
と述べている．このような曲面はどのようなものか調べよう．
右図は楕円曲面である．この曲面上で布(ある領域)が動こうとすると面を離れないとするならば，どうしても伸び縮が必要である． 例えば，赤道周辺の布が極の方に動いた場合を考えればわかりやすい．
ポアンカレのいう曲面はどのようなものか調べよう．

伸び縮みしないで動くということは等長変換(曲線の長さを変えない変換．分かり易い例は平面の円柱面，円錐面への変換) が存在することです．
2曲面間に等長変換が存在するなら第１基本形式が変わらない．さらに，ガウスにより曲面のガウス曲率は第１基本形式だけで 決まることが示されているので次の命題が成り立つ．
命題1
2つの曲面$S_1,S_2$間に等距離変換が存在すれば対応点のガウス曲率は等しい．

この命題の逆は成り立たない．
例
2つの曲面
$\boldsymbol{f}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,\log u) \ \ $(回転面)
$\boldsymbol{g}(x,y)=(x\cos y,x\sin y,y) \ \ $(常螺旋面)
のガウス曲率$K_1,K_2$を求めるとそれぞれ
$K_1=-\dfrac{1}{(1+u^2)^2},K_2=-\dfrac{1}{(1+x^2)^2}$
であり，対応$(u,v)\mapsto (x,y)$によりガウス曲率は一致する.
しかし，この曲面間には等長変換は存在しないことを背理法で証明する．
等長変換が存在すると仮定．
その等長変換を
$x=f(u,v),y=g(u,v)\cdots (*)$
とする．
対応点ではガウス曲率が等しいから
$-\dfrac{1}{(1+u^2)^2}=-\dfrac{1}{(1+f(u,v)^2)^2}$
$1+f(u,v)^2=\pm (1+u^2)$
$1+f(u,v)^2=-(1+u^2)$
は条件を満たさないから．
$1+f(u,v)^2=1+u^2$
すなわち
$f(u,v)=\pm u$
の時調べればよい． 回転面，常螺旋面の第1基本形式をそれぞれ$I_f,I_g$と置くと
$I_f=(1+\dfrac{1}{u^2})du^2+u^2dv^2$
一方
$I_g=dx^2+(1+x^2)dy^2$
$=du^2+(1+u^2)(g_udu+g_vdv)^2$
$=(1+(1+u^2)g_u^2)du^2+2(1+u^2)g_ug_vdudv+(1+u^2)g_v^2dv^2$
$(*)$が等長変換であるから
$\begin{cases} 1+(1+u^2)g_u^2=1+\dfrac{1}{u^2}\\ (1+u^2)g_ug_v=0\\ (1+u^2)g_u^2=u^2\end{cases} $
このような$g$は存在しない($g_u=0$なら第1式を満たさない．$g_v=0$なら第3式を満たさない)．

しかし，次の命題が成り立つ．
命題
2つの定曲率曲面でガウス曲率が等しいなら，常に等長変換が存在する．
証明の概略は
曲面は,第1基本形式が
$I=du^2+Gdv^2$
の座標系を定めることができ，この座標系でガウス曲率$K$は
$K=-\dfrac{(\sqrt{G})_{uu}}{\sqrt{G}}$
である．$K$が定数の時$G$が求まり
$K=\dfrac{1}{a^2}$のとき$I=du^2+\cos ^2\frac{u}{a}dv^2$
$K=-\dfrac{1}{a^2}$のとき$I=du^2+\cosh ^2\frac{u}{a}dv^2$
$K=0$のとき$I=du^2+dv^2$
となる．
このことより，ガウス曲率が同じ値の定曲率曲面間に等距離変換が存在することがわかる．

以上の議論より，定曲率曲面なら，異なる2点の近傍間に等長変換が存在するから， 定曲率曲面のみ伸び縮みしない布が動き回ることができることが分かった．

ここまでは，2次元の曲面を考えたが，ｎ次元多様体の曲率を考えよう．
n次元の多様体で考える曲率は断面曲率である．
$M$をｎ次元多様体とする．$M$上の点$P$における接ベクトル空間を$T_P(M)$ととする．
$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in T_P(M)$が1次独立の時，
点$P$において，$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$の定める平面， これを$\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\}$と表し点$P$における2次元断面と呼ぶ，に接する測地線全体よりなる曲面の点$P$ におけるガウス曲率を$M$の点$P$における断面$\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\}$に沿った断面曲率という．
考える2次元曲面が分かりづらければ，2次元ベクトル空間$\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\}$上で，点$P$を始点 とするベクトルを$P$の周りを1周した時，そのベクトルを接ベクトルとする測地線を考え， その全体よりなる曲面とすればよい．
$\boldsymbol{e_1},\dots ,\boldsymbol{e_n}$を$T_P(M)$の基底とするとき，$T_P(M)$の2次元ベクトル空間の基底
$\{\boldsymbol{e_i},\boldsymbol{e_j}\} \ \ (1\leqq i < j \leqq n)$
に沿った$\frac{n(n-1)}{2}$個の断面曲率が分かれば，任意の2次元ベクトル空間$\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}$に沿った断面曲率分かる．
多様体$M$で任意の点の任意の2次元断面に沿った断面曲率が一定のとき，$M$を定曲率多様体と呼ぶ．
各点で，独立な$\frac{n(n-1)}{2}$の断面曲率が等しければ定曲率多様体になることが知られている(この条件だけで異なる2点の断面曲率も一致するということ)．(F.Schur)

リーマンは講演の中で，最短曲線（測地線）を辺とする三角形の内角の和で曲率を説明していますが， この理解にはガウス・ボンネの定理を学ぶ必要があります．
ガウス・ボンネの定理は次の内容です．
曲面
$(u,v)\mapsto \boldsymbol{f}(u,v)$
を考える．
曲面上の単連結な閉領域$D$(領域内のどんな閉曲線も内部をすべて含む． すなわち穴が開いていない閉領域ということ),$D$の境界を$\partial D$と表し，$\partial D$はなめらかな曲線とする．
このとき，曲面のガウス曲率を$K(u,v)$,曲線$\partial D$の測地曲率を$k_g$,曲面の面積要素を$d\sigma$とすると
$\displaystyle \int_{\partial D}k_gds=\int_{\partial D}d\theta -\int_{D}K(u,v)d\sigma \cdots (*)$
が成り立つ．式を見ると難しそうですが，そんなことはありません．
まず，左辺ですが，測地曲率はLiouvilleによって計算されており，その式にグリーンの公式
$\displaystyle \int_{\partial D} Pdu+Qdv=\iint_{D}(\dfrac{\partial Q}{\partial u}-\dfrac{\partial P}{\partial v})dudv$
を機械的にあてはめ計算するだけです．
曲線$\partial D$には向きがあり，向きは左周りを正の向きとします． 左回りとは，曲線が囲む領域を左側に見る向きのことです．ここでは考えませんが単連結でないとき， 内側の曲線は逆向きになります．
$(*)$の右辺の第1項は，曲線を一周するとき接ベクトルの始点をそろえたとき，回る角度です． この値は，交わらない閉曲線（これを単純閉曲線と呼ぶ）のときどんなに複雑な曲線でも$2\pi$ です．それは，値は$2k\pi (k\in \mathbb{Z})$で曲線を連続に変形し円にすればよい．
つぎに$(*)$の右辺の第2項です．
曲面$\boldsymbol{f}(u,v)$上の関数$g$の積分は$(u,v)$平面で考えます．
曲面$\boldsymbol{f}$の接平面上の2つのベクトル$\boldsymbol{f}_u,\boldsymbol{f}_v$の作る平行四辺形の面積が
$|\boldsymbol{f}_u||\boldsymbol{f}_v|\sin \theta =\sqrt{|\boldsymbol{f}_u|^2|\boldsymbol{f}_v|^2-(\boldsymbol{f}_u \cdot \boldsymbol{f}_v)^2}=\sqrt{EG-F^2}$
であるから$dudv$の代わりに$\sqrt{EG-F^2}dudv$を用いることになる．
$d\sigma =\sqrt{EG-F^2}dudv$
と置き，$d\sigma$を曲面$\boldsymbol{f}$の面積要素と呼ぶ．
ちなみに
$\displaystyle \int_D\sqrt{EG-F^2}dudv=\int_Dd\sigma$
は$D$の面積で$\mathrm{Area}(D)$と表す．

曲面上に3点$A,B,C$が与えられたときを考える．$A,B,C$の異なる2点を結ぶ曲面上の曲線$AB,BC,CA$が それぞれ測地線のとき，この図形を測地三角形$ABC$と呼ぶ．
測地三角形$ABC$にガウス・ボンネの定理
$\displaystyle \int_{\partial D}k_gds=\int_{\partial D}d\theta -\int_{D}K(u,v)d\sigma$
を適用する．測地三角形$ABC$を$D$とすると
$\displaystyle \int_{AB+BC+CA}k_gds$
$=\int_{AB+BC+CA}d\theta -\int_{D}K(u,v)d\sigma$
ここで測地線は測地曲率は$0$より$k_g=0$
さらに右辺の第1項は，測地三角形$ABC$の外角を$a_1,a_2,a_3$とすると
$\displaystyle \int_{AB+BC+CA}d\theta =2\pi-(a_1+a_2+a_3)$
測地三角形$ABC$の内角を$b_1,b_2,b_3$とすると$a_i+b_i=\pi$より
$=(b_1+b_2+b_3)-\pi$
したがって，
$\displaystyle \int_{D}K(u,v)d\sigma =b_1+b_2+b_3-\pi$
となる．
定曲率曲面では,定曲率を$K$とすれば
$K\mathrm{Area}(D)=b_1+b_2+b_3-\pi$
となる．この性質をリーマンは
最短曲線を辺とする三角形の内角の和の2直角よりの超過を三角形の面積で割ったものとして曲率に直感的な意味を与えることができる
と述べている．
ガウス・ボンネの定理はこれで終わりにするともったいないのでもう少し述べる．
有界で境界のない曲面（これを閉曲面という）を考える．これは例えば，球面や浮袋の表面（トーラス面という） や球面に通り抜けることのできる穴を何個か開けた，何人かがいっしょに使える 浮袋の表面を考えればよい．
$S$を有界な境界のない曲面とする．曲面$S$を有限個の測地三角形で分割し， その測地三角形を$S_1,\dots ,S_n$とする．
各測地三角形$S_i$の内角を$b_1^i,b_2^i,b_3^i$とすればガウス・ボンネの定理より
$\displaystyle \int_{S_i}K(u,v)d\sigma =b_1^i+b_2^2+b_3^3-\pi$
各$i$の和を取り
$\displaystyle \int_{S}K(u,v)d\sigma =\sum_{i=1}^n(b_1^i+b_2^2+b_3^3-\pi)$
頂点の数を$v$とすると
$\displaystyle \sum_{i=1}^n(b_1^i+b_2^2+b_3^3)=v\times 2\pi$
より
$\displaystyle \int_{S}K(u,v)d\sigma =(2v-n)\pi$
辺（測地線）の数を$l$とすると
$3n=2l$
である．したがって
$2v-n=2v-3n+2n=2v-2l+2n=2(v-l+n)$
したがって
$\displaystyle \int_{S}K(u,v)d\sigma =2(v-l+n)\pi$
となる．
曲面$S$を三角形分割したときの面，辺，頂点の数をそれぞれ$n,l,v$としたとき
$n-l+v$
は曲面$S$の標数とよばれる数で，曲面の位相不変量である．この数を$\chi (S)$と表す．この記号を用いれば
$\displaystyle \int_{S}K(u,v)d\sigma =2\pi \chi (S)$
となる．
ガウス曲率は曲面を動かすと変わりますが，連続変形をする限り，面全体で積分するとその値は 変わらないという見事な定理です．
なお，和を取るとき，右上の図を見ればわかるように， 測地曲率の積分は相殺されて$0$になるので，曲線は測地線である必要はない．

§2.3 曲面の基本方程式

目次

全体の目次