内角,外角の二等分線,複比,そして射影幾何

この章では,三角形の内角の二等分線,外角の二等分線の性質から始め複比そして射影幾何を学びます.


まず,三角形の内角の二等分線,外角の二等分線の性質からはじめましょう.

命題1
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をPとすれば
AB:AC=BP:PC
が成り立つ.
証明
Pから辺AB,ACに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとします.
このとき△AHP≡△AKP(斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい)
よりPH=PK
∴ AB:AC
=△ABP:△ACP
=BP:PC



命題2
△ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとすれば
AB:AC=BQ:QC
が成り立つ.
証明
BAの延長上に点Dを
AD=AC
を満たすようにとる.
このとき△ACQ≡△ADQが成り立つ.
∴ AB:AC=AB:AD
=△ABQ:△AQD
=△ABQ:△ACQ
=BQ:QC

直線AB上で線分ABをm:nに分ける点は内分点,外分点と2つあります. これらを区別するために,これから線分の長さには符号をつけて考えます. すなわち,直線AB上で考えるとき,線分ABの向きと同じ向きのとき正,反対向きの とき負と定めます.
例えば,
AP=−PA

となります.
したがってこれからは,線分を表すとき,どちらの頂点を先に書くかにも 注意を払う必要があります.

比AP:PBの値をAP/PBで定義します.
:と÷は記号も似ていますがまったく同じものと考えましょう.
すなわち,2:3と2/3は同じものと考えます.
このように考えれば,内分のとき
AP/PB>0
外分のとき
AP/PB<0
が成り立ちます.


線分ABの内分点,外分点についは次のアポロニウスの定理は重要です.

定理(アポロニウス)
定点A,Bが与えられている.2定点A,Bまでの距離の比がm:nすなわち
AP:BP=m:n
である点Pの軌跡は線分ABをm:nに内分する点C,外分する点Dを直径の両端とする 円である.

証明
Pが直線AB上のときは,線分ABを,m:nに内分する点C,外分する点Dである.
Pが直線AB上にないとき.
点PがAP:BP=m:nを満たすとき
△PABの∠Pの2等分線,∠Pの外角の2等分線とABとの交点は それぞれC,Dである.
したがって,∠CPD=90°より,点Pは線分CDを直径とする円周上にある.

逆すなわち
線分ABを,m:nに内分する点C,外分する点Dとし,線分CDを直径とする円周上の点Pは AP:BP=m:nを満たす
も証明しましょう.
Bを通りAPに平行な線を引き,PC,PDとの交点を それぞれE,Fとします.
このとき,
AP:EB=AC:CB,
AP:BF=AD:BD
∴ EB=BF
△PEFは∠P=90°より
EB=PB
∴ PA:PB =PA:EB =AC:CB =m:n

アポロニウスの定理のベクトルによる証明は次のとおりである.

証明
$A,B,P$の位置ベクトルをそれぞれ$A(\overrightarrow{a}), B(\overrightarrow{b}),P(\overrightarrow{p})$ とする.
$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|^2:|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|^2$
$=m^2:n^2$
より
$n^2|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|^2- m^2|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|^2 =0$
$\{n(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})+m(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\} \cdot \{n(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})-m(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\}=0$
$\{\overrightarrow{p}-\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\} \cdot \{\overrightarrow{p}-\dfrac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\}=0$
線分$AB$を$m:n$nに内分する点$C(\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n})$外分する点$D(\dfrac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n})$ とすれば
$\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{DP}=0$
したがって,アポロニウスの定理が成り立つ.


アポロニウスの定理を利用すれば,次の例題も解決します.

例題
ある街の地図をその街の地面上に置いたとき,地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず 1点存在する.

例題の証明



続く

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