内角,外角の二等分線，複比,そして射影幾何

直線AB上で線分ABをm：nに分ける点は内分点，外分点と２つあります． これらを区別するために，これから線分の長さには符号をつけて考えます． すなわち，直線AB上で考えるとき，線分ABの向きと同じ向きのとき正，反対向きの とき負と定めます．
例えば,
AP＝−PA

となります．
したがってこれからは，線分を表すとき，どちらの頂点を先に書くかにも 注意を払う必要があります．

比AP：PBの値をAP／PBで定義します．
：と÷は記号も似ていますがまったく同じものと考えましょう.
すなわち，２：３と２／３は同じものと考えます．
このように考えれば，内分のとき
AP／PB＞０
外分のとき
AP／PB＜０
が成り立ちます．


線分ABの内分点，外分点についは次のアポロニウスの定理は重要です．

定理（アポロニウス）
定点A，Bが与えられている．２定点A，Bまでの距離の比がm：nすなわち
AP：BP＝m：n
である点Pの軌跡は線分ABをm：nに内分する点C，外分する点Dを直径の両端とする 円である．

証明
Pが直線AB上のときは，線分ABを，m：nに内分する点C，外分する点Dである．
Pが直線AB上にないとき．
点PがAP：BP＝m：nを満たすとき
△PABの∠Pの２等分線，∠Pの外角の２等分線とABとの交点は それぞれC，Dである．
したがって，∠CPD＝９０°より，点Pは線分CDを直径とする円周上にある．

逆すなわち
線分ABを，m：nに内分する点C，外分する点Dとし，線分CDを直径とする円周上の点Pは AP：BP＝m：nを満たす
も証明しましょう．
Bを通りAPに平行な線を引き，PC，PDとの交点を それぞれE，Fとします．
このとき，
AP：EB＝AC：CB，
AP：BF＝AD：BD
∴　EB＝BF
△PEFは∠P＝９０°より
EB＝PB
∴　PA：PB ＝PA：EB ＝AC：CB ＝m：n

アポロニウスの定理のベクトルによる証明は次のとおりである．

証明
$A,B,P$の位置ベクトルをそれぞれ$A(\overrightarrow{a}), B(\overrightarrow{b}),P(\overrightarrow{p})$ とする．
$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|^2:|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|^2$
$=m^2:n^2$
より
$n^2|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|^2- m^2|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|^2 =0$
$\{n(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})+m(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\} \cdot \{n(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})-m(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\}=0$
$\{\overrightarrow{p}-\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\} \cdot \{\overrightarrow{p}-\dfrac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\}=0$
線分$AB$を$m:n$nに内分する点$C(\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n})$外分する点$D(\dfrac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n})$ とすれば
$\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{DP}=0$
したがって，アポロニウスの定理が成り立つ．

アポロニウスの定理を利用すれば，次の例題も解決します．

例題
ある街の地図をその街の地面上に置いたとき，地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず １点存在する．

例題の証明



続く

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