内角の二等分線,外角の二等分線と複比

この章では,三角形の内角の二等分線,外角の二等分線の性質を学びます. さらに,その応用として,複比,そして内分点,外分点の片方からもう一方を定規だけで作図する方法を 学びます.

まず,三角形の内角の二等分線,外角の二等分線の性質から入りましょう.
命題1
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をPとすれば
AB:AC=BP:PC
が成り立つ.




証明
Pから辺AB,ACに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとします.
このとき△AHP≡△AKP(斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい)
よりPH=PK
∴ AB:AC
=△ABP:△ACP
=BP:PC



命題2
△ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとすれば
AB:AC=BQ:QC
が成り立つ.



証明
BAの延長上に点Dを
AD=AC
を満たすようにとる.
このとき△ACQ≡△ADQが成り立つ.
∴ AB:AC=AB:AD
=△ABQ:△AQD
=△ABQ:△ACQ
=BQ:QC
直線AB上で線分ABをm:nに分ける点は内分点,外分点と2つあります. これらを区別するために,これから線分の長さには符号をつけて考えます. すなわち,直線AB上で考えるとき,線分ABの向きと同じ向きのとき正,反対向きの とき負と定めます.
例えば,
AP=−PA




となります.
したがってこれからは,線分を表すとき,どちらの頂点を先に書くかにも 注意を払う必要があります.

比AP:PBの値をAP/PBで定義します.
:と÷は記号も似ていますがまったく同じものと考えましょう.
すなわち,2:3と2/3は同じものと考えます.
このように考えれば,内分のとき
AP/PB>0
外分のとき
AP/PB<0
が成り立ちます.




線分ABの内分点,外分点についは次のアポロニウスの定理は重要です.

定理(アポロニウス)
定点A,Bが与えられている.2定点A,Bまでの距離の比がm:nすなわち
AP:BP=m:n
である点Pは線分ABをm:nに内分する点C,外分する点Dを直径の両端とする 円周上にある.

証明
Pが直線AB上のときは,線分ABを,m:nに内分する点C,外分する点Dである.
Pが直線AB上にないとき.




点PがAP:BP=m:nを満たすとき
∠Pの2等分線,∠Pの外角の2等分線とABとの交点は それぞれC,Dである.
したがって,∠CPD=90°より,点Pは線分CDを直径とする円周上にある.

逆すなわち
線分ABを,m:nに内分する点C,外分する点Dとし,線分CDを直径とする円周上の点Pは AP:BP=m:nを満たす
も証明しましょう.



Bを通りAPに平行な線を引き,PC,PDとの交点を それぞれE,Fとします.
このとき,
AP:EB=AC:CB,
AP:BF=AD:BD
∴ EB=BF
△PEFは∠P=90°より
EB=PB
∴ PA:PB
=PA:EB
=AC:CB
=m:n

アポロニウスの定理を利用すれば,次の例題も解決します.

例題
ある街の地図をその街の地面上に置いたとき,地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず 1点存在する.

例題の証明



続く

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