$AB:BC$と$A'B':B'C'$の関係はどうでしょうか．
上の図形で$D$は辺$BC$の中点です．
このとき $E$が$AB$の中点のとき$G$は$\triangle ABC$の重心で
$EG:GC=1:2$
$E$を線分$AB$の間を動かせは$EG:GC$の値がいろいろな値をとることが分かります．
このように線分の比も面白い結果は出てきません．

ここで線分の内分点と外分点の関係を思い出しましょう． ３点$O,A,B$があり，$\angle AOB$の二等分線，$\angle AOB$の外角の二等分線と$AB$との交点をそれぞれ$C,D$とし， $O$を通らない直線$n$と$OA,OB,OC,OD$との交点をそれぞれ$A',B',C',D'$とする．このとき，$OC',OD'$は$\angle A'OB'$の内角，外角の二等分線であるから，$C',D'$は線分$A'B'$を同じ比に内分，外分する点です．
線分$AB$を同じ比に内分する点外分する点をそれぞれ$C,D$とすると
$\frac{AC}{CB}$と$\frac{AD}{DB}$は絶対値が等しく，符号が反対．
したがって
$(AC:CB):(AD:DB) =\dfrac{\frac{AC}{CB}}{\frac{AD}{DB}}=\dfrac{AC\cdot DB}{CB\cdot AD}=-1$
となる．
$OC,OD$Dが$\angle AOB$の内角，外角の二等分線のとき，極射影で
$(AC:CB):(AD:DB)=\dfrac{AC\cdot DB}{CB\cdot DB}$
が変化しないことがわかりました．
以上のことを一般的に扱うため，次の定義をします．

定義
直線上に$A,B,C,D$がある． 線分$AB$の分点$C,D$のそれぞれの比の比すなわち
$AC:CB=\dfrac{AC}{CB}$と$AD:DB=\dfrac{AD}{DB}$
の比
$\dfrac{\frac{AC}{CB}}{\frac{AD}{DB}}=\dfrac{AC\cdot DB}{CB\cdot AD}$
の値を複比（cross ratio)または非調和比といい
$[A,B;C,D]$
と表す．

注意
高校では，線分$AB$の分点$P$を，線分$AB$上は内分，線分$AB$の外側は外分とし， 2つの線分$AP,PB$の長さの比で表している．すなわち，比で負の数は用いない．
一般には，線分$AB$の分点$P$(直線$AB$上の点)を，$A,B$を基点とし，$A,B$からの向きも考えた距離$AP,BP$により
$AP:BP=\dfrac{AP}{BP}$
で表す．この値を，$A,B$を基点とする分点$P$の単比といい$[A,B;P]$と表す．
すなわち
$[A,B;P]=\dfrac{AP}{BP}$
である．
$P$が線分$AB$上の時(内分点)$[A,B;P] < 0$
$P$が線分$AB$の外側の時(外分点)$[A,B;P] > 0$
外分点は$0 < [A,B;P] < 1,[A,B;P] > 1 $により，$A$の左側か$B$の右側に分かれる．
この表し方を用いれば
線分$AB$の分点$C,D$の複比は
$[A,B;C,D]=\dfrac{[A,B;C]}{[A,B;D]}=\dfrac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AD}{BD}} =\dfrac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}\cdots (\sharp)$
である．
$(\sharp)$を$A,B$を基点としたとき分点$C,D$の複比という．
また$(\sharp)は$定義で定めた
$[A,B;C,D]=\dfrac{AC\cdot DB}{CB\cdot AD}$
と一致する．
以後複比の定義は$(\sharp)$を用いることにする．
極射影で複比が保たれることは射影幾何の重要性質であるがそれは次項で学ぶ． ここでは複比の性質を扱う．

数直線上で考える．$A,B,C,D$の座標をそれぞれ$a,b,c,d$すなわち
$A(a),B(b),C(c),D(d)$
とする.
複比は
$[A,B;C,D]=\dfrac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}\cdots (\flat)$
である．
$A,B,C,D$の順番を変えたときの複比を調べよう．$(\flat)$で計算できる．
$[A,B;D,C]=\dfrac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}$
$[B,A;C,D]=\dfrac{(c-b)(d-a)}{(c-a)(d-b)}$
$[C,D;A,B]=\dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}$
および
$[A,B;C,D]+[A,C;B,D]=\dfrac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}+\dfrac{(b-a)(d-c)}{(b-c)(d-a)}=1$
より
$[A,B;C,D]=[B,A;D,C]=[C,D;A,B]=[D,C;B,A]$
$A,B,C,D$の順番を変えたとき，複比は6種類の値を持ち，
$[A,B;C,D]=k$のとき
$[B,A;C,D]=\dfrac{1}{k}$
$[A,C;B,D]=1-k$
$[B,C;A,D]=1-\dfrac{1}{k}$
$[C,A;B,D]=\dfrac{1}{1-k}$
$[C,B;A,D]=\dfrac{k}{k-1}$
である．

ここで$[A,B;C,D]=-1$のときのを考えます．
これは$C,D$は線分$AB$を同じ比に内分，外分する点です．
このとき，$C,D$は線分$AB$を調和に分けるといい，４点$A,B;C,D$は調和点列をなすといいます．
新しい複比の定義でいうならば，$\frac{AC}{BC}$と$\frac{AD}{BD}$が絶対値が等しく符号が反対であるとなる．
$[A,B;C,D]=-1$
のとき，
$[B,A;C,D]=-1,[C,D;A,B]=-1$
等が成り立つから，
$A,B;C,D$が調和点列なら$B,A;C,D$も$C,D;A,B$も調和点列です．
$P,Q,R,S$をそれぞれ$A,B,C,D$のいずれかするとき
$[A,B;C,D]=-1$のとき
$P,Q;R,S$は$R,S$が線分$PQ$の内分点，外分点のとき調和点列である(その時だけ複比の符号が負．$k,\frac{1}{k},1-k,1-\frac{1}{k},\frac{1}{1-k},\frac{k}{k-1}$で負になるのは$k,\frac{1}{k}$だけ)．

調和点列という理由を述べます．
$\dfrac{AC}{BC}=-\dfrac{AD}{BD}$
より，$AC=x,AB=y,AD=z$
とおけば
$\dfrac{x}{x-y}=-\dfrac{z}{z-y}$
分母を払って整理すると
$2xz=xy+yz$
両辺を$xyz$で割ると
$\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}$
すなわち，$AB$が$AC,AD$の調和平均になっている．

つぎに，$A,B;C,D$が調和点列の時，線分$AB$の中点を原点$O$とし，$A(-a),B(a),C(c),D(d)$ として，$a,c,d$の関係を調べる．
$C,D$は線分$AB$の内分点，外分点であるから，$c,d$の符号は同じである．
$\dfrac{AC}{BC}=-\dfrac{AD}{BD}$
より
$\dfrac{c+a}{c-a}=-\dfrac{d+a}{d-a}$
　 $\therefore a^2=cd$
すなわち$OB$は$OC,OD$の相乗平均である．
原点$O$を中心とする半径$r=OB$の円で，
$OC\cdot OD=r^2\cdots (\flat)$
が成り立つということができる．
$(\flat)$を満たす点$C,D$を原点を中心とする半径$r=OB$ の円に関して対称であるといいます．
これは少し説明が必要です．
それは，$C,D$を通る任意の円$O'$を描いた時，その円が円$O$に直交するからです．
証明
円$O,O'$の交点の1つを$P$とする．
円Oの半径を$r$とすると
$OC・OD=r^2=OP^2$
より$OP$は円$O'$の接線．
$OP\perp OP'$
より円$O'$は円$O$に直交する． (∵点$P$における円$O$と円$O'$の接線のなす角は，接線と直交する半径$OP$と$O'P$のなす角)(証明終わり)

ここで，点$P$と直線$m$に関して対称な点$Q$の条件は
2直線$PQ,m$の交点を$O$とすれば
$PQ\perp m$ および　$PO=QO$
ですが,次のように言うこともできます．
$P$を通り$m$に直交する円($m$上に中心をもつ円)が必ず通る点
この見方をすれば，2点$P,Q$が半径$r$の円に関して対称である定義が 半直線$OP$上の点$Q$で
$OP\cdot OQ=r^2$
を満たすことがわかる．
$A,B;C,D$が調和点列をなすとき，すなわち，$C,D$が線分$AB$ を内分，外分する点のとき$C,D;A,B$も調和点列をなす．
これはすでに示した
$[A,B;C,D]=[C,D;A,B]$
が成り立つからである．
$A,B;C,D$が調和点列，すなわち$[A,B;C,D]=-1$のとき，$C,D$は線分$AB$を直径とする円に関して対称である．ここで，$C,D$は線分$AB$を同じ比に内分，外分する点であるから， 線分$CD$を直径とする円は，2点$A,B$を基点とするアポロニウスの円である．
したがって，次の命題が成り立つ．
命題
2点$A,B$は2点$A,B$を基点とするアポロニウスの円に関して対称である．

パスカルの定理

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