複比 さて，△ABCの∠Aの二等分線，∠Aの外角の二等分線をもう一度眺めましょう． AP，AQは∠Aの内角，外角の二等分線より BP：PCの比の値とBQ：QCの比の値は絶対値が等しく符号が反対． したがって，２つの比の値の比は BP／PC：BQ／QC ＝（BP／PC）÷（BQ／QC） ＝（BP・QC）／（PC・BQ） ＝−１ が成り立ちます． Aを通らない直線ｍを付け加え，AB，AC，AP，AQまたはその延長との交点をそれぞれ B'，C'，P'，Q'とします． △AB'C'を見るとAP'，AQ'はそれぞれ∠Aの内角，外角の二等分線より やはり同様に B'P'／P'C'：B'Q'／Q'C' ＝−１ が成り立ちます． ここで話した，BP／PC：BQ／QCとB'P'／P'C'：B'Q'／Q'C'の値が 一致することは，なかなか奥深い内容です． それを理解するにはちょっと準備が必要です． 平面上に点Ｏと二直線ｍ，ｎがある．このとき，ｍ上の任意の点Pに対して， 直線ＯPと直線ｎとの交点Qを対応させることにより，直線ｍから直線ｎへの対応 ｆ：ｍ→ｎ が定義できます． この対応を，点Ｏを中心とする直線ｍから直線ｎへの極射影または中心射影といいます． この極射影で，ｍ上の点はｎ上の点にうつり，ｍ上の線分はｎ上の線分に移ります． 直線上の図形といえば点か線分ですから，極射影による線分の関係を調べましょう． 点Ｏを中心とする極射影でｍ上の点A，B，C，Dがそれぞれｎ上の点A'，B'，C'，D' にうつったとします． 線分ABと線分A'B'の関係はｎを変えれば自由に変わります． AB：BCとA'B'：B'C'の関係はどうでしょうか． 上の図形でDは辺BCの中点です． このとき EがABの中点のときGは重心で EG：GC＝１：２ Eを線分ABの間を動かせはEG：GCの値がいろいろな値をとることが分かります． このように線分の比も面白い結果は出てきません． ここで線分の内分点と外分点の関係を思い出しましょう． ３点O,A,Bがあり，∠AOBの二等分線，∠AOBの外角の二等分線とABとの交点をそれぞれC，Dとし， Oを通らない直線ｎとOA.OB,OC,ODとの交点をそれぞれA',B',C',D'とする．このとき，OC',OD'は ∠A'OB'の内角，外角の二等分線であるから，C'，D'は線分A'B'同じ比に内分，外分する点です． 線分ABを同じ比に内分する点外分する点をそれぞれC，Dとすると （AC：CB）：（AD：DB） ＝（AC／CB）／（AD／DB） ＝（AC・DB）／（CB・AD） ＝−１ です． OC,ODが∠AOBの内角，外角の二等分線のとき，極射影で（AC：CB）：（AD：DB） が変化しないことがわかりました． 以上のことを一般的に扱うため，次の定義をします． 定義 直線上にA，B，C，Dがある． 線分ABに関するC，Dそれぞれの比の比すなわち AC：CB＝AC／CBとAD：DB＝AD／DB の比（AC／CB）／（AD／DB）＝（AC・DB）／（CB・AD） の値を複比（cross ratio)または非調和比といい〔A，B；C，D〕と表します． 複比はA（a），B（ｂ），C（ｃ），D（ｄ）の座標を用いると簡単に計算できます． すなわち 〔A，B；C，D〕 ＝(c-a)(b-d)/(b-c)(d-a) となります． A，B，C，Dのいずれかを交換した関係式は簡単に導き出せます． 〔B，A；C，D〕 ＝〔A，B；D，C〕 ＝１／〔A，B；C，D〕 〔A，C；B，D〕 ＝１−〔A，B；C，D〕 等 ここで〔A，B；C，D〕＝−１のときのとき考えましょう． AC／CB＝−AD／DB ですから C，Dは線分ABを同じ比に内分，外分する点です． このとき，CとDは 線分ABを調和に分けるといい，４点A，B；C，Dは調和点列をなすといいます． その理由を述べます． AC／CB＝−AD／DB より，AC＝ｘ，AB＝ｙ，AD＝ｚ とおけば ｘ／(ｙ−ｘ)＝−ｚ／(ｙ−ｚ) 分母を払って整理すると ２ｘｚ＝ｘｙ＋ｙｚ 両辺をｘｙｚで割ると ２／ｙ＝１／ｘ＋１／ｘ ｘ，ｙ，ｚは調和数列（逆数が等差数列）です． なお，〔A，B；C，D〕＝１のとき，CとDは一致します． パスカルの定理 目次