アポロニウスの定理の応用 アポロニウスの定理を利用して 次の例題を解いてみましょう． 例題 ある街の地図をその街の地面上に置いたとき，地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず １点存在し，ただ1点に限る． 証明 2点以上存在しないことを確認しましょう． A,Bがともに地図上と実際が重なる点とするとAB=nABよりn=1すなわち縮尺が1となります．もちろんここでは縮尺１の地図は考えていません． 実際の点をＡ，点Ａの地図上の点をＡ’，Ａ’の実際の点をＢ， 点Ｂの地図上の点をＢ’とし，地図の縮尺を1/nとします． このとき， 線分ＡＢをｎ：１に内分，外分する点をそれぞれＰ，Ｑ， 線分Ａ’Ｂ’をｎ：１に内分，外分する点をそれぞれＰ’，Ｑ’ とおき， 線分ＰＱを直径とする円をＣ(AT:BT=n:1を満たす点Tの軌跡)，線分Ｐ’Ｑ’を直径とする円をＣ’ (A'T':B'T'=n:1を満たす点T'の軌跡)とおきます． この２円Ｃ，Ｃ’が必ず交わることは最後に証明します． この２円の交点のうち， △ＯＡＢと△ＯＡ’Ｂ’が同じ向きになる方を点Ｏとします． このとき， ＯＡ／ＯＢ＝ＯＡ’／ＯＢ’＝ＡＢ／Ａ’Ｂ’＝ｎ より △ＯＡＢ∽△ＯＡ’Ｂ’ が成り立ちます． したがって，求める点が点Ｏであることが分かりました. ． （実際の△ＯＡＢが地図上では△ＯＡ’Ｂ’になるということです） 残された問題，２円Ｃ，Ｃ’が必ず交わることを示しましょう． 次の命題を用います． 命題 円Ｏ内に点Ａがあり，点Ａを通る円Ｏの直径をＢＣとし，線分ＢＯ上に点Ａがあるとする． 点Ｐが円Ｏの周上を動くとき， ＡＢ≦ＡＰ≦ＡＣ がなりたつ． ただし，等号が成り立つのは，左の不等式はＰがＢのとき，右の不等式はＰが Ｃのときだけである． 証明 点Ｐが直線ＡＯ上にないとき， △ＰＡＯで考えれば ＡＢ＝ＯＰ−ＯＡ＜ＡＰ＜ＯＰ＋ＯＡ＝ＡＣ したがって命題がなりたつ． さて，証明で用いた図において， いくつかの線分の長さの関係式を求めましょう． ＡＢ／Ａ’Ｂ’＝ｎ，ＡＰ／ＰＡ’＝ｎより ＰＢ＝Ａ’Ｐ’． さらに， ＡＱ／ＢＱ＝ｎ，ＡＱ／Ａ’Ｑ’＝ｎ より ＢＱ＝Ａ’Ｑ’ したがって，Ｐ’は円Ｃの内部にあり，点Ｑ’は円Ｃの外部にあり，２円Ｃ，Ｃ’が２点で交わること が分かりました． この問題は回転相似変換の立場から見た方が分かりやすいかもしれません． なお，２円Ｃ，Ｃ’のもう１つの交点Ｏ’は，△Ｏ’ＡＢ∽△Ｏ’Ａ’Ｂ’ かつ△Ｏ’ＡＢと△Ｏ’Ａ’Ｂ’は逆向きですから，地図を裏返しに置いたときの重なる点です． 本文の続き 目次