アポロニウスの定理の応用

アポロニウスの定理を利用して 次の例題を解いてみましょう.

例題
ある街の地図をその街の地面上に置いたとき,地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず 1点存在し,ただ1点に限る.
証明
2点以上存在しないことを確認しましょう.
A,Bがともに地図上と実際が重なる点とするとAB=nABよりn=1すなわち縮尺が1となります.もちろんここでは縮尺1の地図は考えていません.

実際の点をA,点Aの地図上の点をA’,A’の実際の点をB, 点Bの地図上の点をB’とし,地図の縮尺を1/nとします.



このとき,
線分ABをn:1に内分,外分する点をそれぞれP,Q, 線分A’B’をn:1に内分,外分する点をそれぞれP’,Q’ とおき,
線分PQを直径とする円をC(AT:BT=n:1を満たす点Tの軌跡),線分P’Q’を直径とする円をC’ (A'T':B'T'=n:1を満たす点T'の軌跡)とおきます.
この2円C,C’が必ず交わることは最後に証明します.
この2円の交点のうち, △OABと△OA’B’が同じ向きになる方を点Oとします.
このとき,
OA/OB=OA’/OB’=AB/A’B’=n
より
△OAB∽△OA’B’
が成り立ちます.
したがって,求める点が点Oであることが分かりました.
. (実際の△OABが地図上では△OA’B’になるということです)
残された問題,2円C,C’が必ず交わることを示しましょう. 次の命題を用います.

命題
円O内に点Aがあり,点Aを通る円Oの直径をBCとし,線分BO上に点Aがあるとする.
点Pが円Oの周上を動くとき,
AB≦AP≦AC
がなりたつ.
ただし,等号が成り立つのは,左の不等式はPがBのとき,右の不等式はPが Cのときだけである.
証明




点Pが直線AO上にないとき, △PAOで考えれば
AB=OP−OA<AP<OP+OA=AC
したがって命題がなりたつ.

さて,証明で用いた図において, いくつかの線分の長さの関係式を求めましょう.
AB/A’B’=n,AP/PA’=nより
PB=A’P’.
さらに,
AQ/BQ=n,AQ/A’Q’=n
より
BQ=A’Q’
したがって,P’は円Cの内部にあり,点Q’は円Cの外部にあり,2円C,C’が2点で交わること が分かりました.

この問題は回転相似変換の立場から見た方が分かりやすいかもしれません.

なお,2円C,C’のもう1つの交点O’は,△O’AB∽△O’A’B’ かつ△O’ABと△O’A’B’は逆向きですから,地図を裏返しに置いたときの重なる点です.


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