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補助円(2)

この節では,国際数学オリンピックの問題を解いていきましょう.もちろん,やさしくはないですが, 手の届かない難問というわけではありません.数学的思考力を身に付けるにはとても適切な問題です. 時間をかけて考えることをお勧めします.

問題1
AB=ACの二等辺三角形ABCがある.この三角形の外接円およびAB,ACに接する 円を考え,AB,ACとの接点をそれぞれP,Qとする.このとき,線分PQの中点は△ABC の内心であることを証明せよ. (1978年IMO第4問)







解答



問題2
鋭角三角形ABCの∠Aの2等分線とBCとの交点をL,外接円との交点をNとする.LからAB,ACに 垂線を下ろしその足をそれぞれK,Mとする.このとき,△ABCの面積と四角形AKNMの面積は等しい ことを証明せよ.(1987年IMO第2問)







解答



問題3
円Oは△ABCの頂点A,Cを通り,辺AB,BCとそれぞれK,Nで交わるものとする.△ABCの外接円 とBKNの外接円の交点のうちBでないほうをMとする.このとき,∠OMBは直角であることを証明せよ. (1985年 IMO 第5問)




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解答






以上,数学オリンピックの問題を扱いました.
前節の日本の大学入試問題と比較してみましょう.
日本の入試問題は,数学オリンピックの問題と比べても決して遜色のない すばらしい問題であることがわかります.
しかし,大学入試問題と数学オリンピックでは対象者がまったく異なります.
どうみても,大学入試問題としては難しすぎるように思えます.
難問であっても,受験生の手の届く範囲であるなら,数学的な思考力の有無を判断するのに適切な出題です.
しかし,難しすぎたらどうなるでしょう.それはたとえ 内容のあるすばらしい問題だとしても,手の出しようがなければ,受験生は数学の精神から外れた,いろいろな問題の 解答を覚えて入試に対処しようとします.
これは人間の本能でしょう.
これでは受験によって歪んだ数学観を身に付けることになります.

さて,昭和40年頃,初等幾何が高等学校の数学のカリキュラムよりはずれてしまいました.初等幾何の採点が大学入試 になじまないなどと的外れの意見をよく耳にしますが,数学オリンピックに初等幾何が次から次と出題されていることから見ても, 採点が理由になるとはおもいません.
実際,私の学生時代接した,明治生まれ,大正生まれの数学者は,厳しかったけれど,研究や雑事 にとても誠実に対応していました.学生の選抜のための労を厭うような人はいなかったと思います.
それでは,なぜ初等幾何がなくなったのでしょうか.それは問題が難しすぎて,受験生が対応し切れなくなり ,歪んだ数学観すなわち,数学は解答を覚えればいいんだという考えが広まったからではないかと私は 考えます.

現在,初等幾何が高等学校のカリキュラムに復活し数年たちます.初等幾何の問題は,見たことがない問題は高校生にとっては 予想外に解けないのが事実です.
大学入試にこれから次から次と初等幾何の出題がされるでしょう.出題者と受験生のギャップが大きいことを理解し, 適切な良問の出題により,初等幾何が国民の中に広まることを願っています.


シムソン線と清宮の定理

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