補助円(2)この節では，国際数学オリンピックの問題を解いていきましょう．もちろん，やさしくはないですが， 手の届かない難問というわけではありません．数学的思考力を身に付けるにはとても適切な問題です． 時間をかけて考えることをお勧めします．問題１ ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがある．この三角形の外接円およびＡＢ，ＡＣに接する 円を考え，ＡＢ，ＡＣとの接点をそれぞれＰ，Ｑとする．このとき，線分ＰＱの中点は△ＡＢＣ の内心であることを証明せよ． （１９７８年ＩＭＯ第４問）  解答 問題２ 鋭角三角形ＡＢＣの∠Ａの２等分線とＢＣとの交点をＬ，外接円との交点をＮとする．ＬからＡＢ，ＡＣに 垂線を下ろしその足をそれぞれＫ，Ｍとする．このとき，△ＡＢＣの面積と四角形ＡＫＮＭの面積は等しい ことを証明せよ．（１９８７年ＩＭＯ第２問）  解答 問題３ 円Ｏは△ＡＢＣの頂点Ａ，Ｃを通り，辺ＡＢ，ＢＣとそれぞれＫ，Ｎで交わるものとする．△ＡＢＣの外接円 とＢＫＮの外接円の交点のうちＢでないほうをＭとする．このとき，∠ＯＭＢは直角であることを証明せよ． （１９８５年 ＩＭＯ 第５問）  br> 解答 以上，数学オリンピックの問題を扱いました． 前節の日本の大学入試問題と比較してみましょう． 日本の入試問題は，数学オリンピックの問題と比べても決して遜色のない すばらしい問題であることがわかります． しかし，大学入試問題と数学オリンピックでは対象者がまったく異なります． どうみても，大学入試問題としては難しすぎるように思えます． 難問であっても，受験生の手の届く範囲であるなら，数学的な思考力の有無を判断するのに適切な出題です． しかし，難しすぎたらどうなるでしょう．それはたとえ 内容のあるすばらしい問題だとしても，手の出しようがなければ，受験生は数学の精神から外れた，いろいろな問題の 解答を覚えて入試に対処しようとします． これは人間の本能でしょう． これでは受験によって歪んだ数学観を身に付けることになります． さて，昭和４０年頃，初等幾何が高等学校の数学のカリキュラムよりはずれてしまいました．初等幾何の採点が大学入試 になじまないなどと的外れの意見をよく耳にしますが，数学オリンピックに初等幾何が次から次と出題されていることから見ても， 採点が理由になるとはおもいません． 実際，私の学生時代接した，明治生まれ，大正生まれの数学者は，厳しかったけれど，研究や雑事 にとても誠実に対応していました．学生の選抜のための労を厭うような人はいなかったと思います． それでは，なぜ初等幾何がなくなったのでしょうか．それは問題が難しすぎて，受験生が対応し切れなくなり ，歪んだ数学観すなわち，数学は解答を覚えればいいんだという考えが広まったからではないかと私は 考えます． 現在，初等幾何が高等学校のカリキュラムに復活し数年たちます．初等幾何の問題は，見たことがない問題は高校生にとっては 予想外に解けないのが事実です． 大学入試にこれから次から次と初等幾何の出題がされるでしょう．出題者と受験生のギャップが大きいことを理解し， 適切な良問の出題により，初等幾何が国民の中に広まることを願っています． シムソン線と清宮の定理 目次 |