シムソン線と清宮の定理本節の目的は清宮の定理の紹介です．清宮とは日本の生んだ代表的初等幾何学者清宮俊雄（1910〜）氏 のことです．この清宮の定理が日本ではそれほど浸透していません．まことに残念なことです．和算も含め， 日本人の業績は，中学，高校の教育の中でもっと紹介するべきです．日本人の活躍に接することは， 誇りに感じ帰属意識を高めることになるでしょう． さて，本題に入ります．清宮の定理の土台となるシムソン線の定理から始めます． 定理 △ABCの外接円上の点Pから辺BC，CA，ABまたはその延長に下ろした垂線の足を それぞれD，E，Fとする．このとき，D，E，Fは同一直線上にある．  証明 図で， ∠PDC＝∠PEC＝９０° ∠PFB＝∠PDB＝９０° であるから４点P，E，C，D；P，D，F，Bはそれぞれ同一円周上にある． したがって， ∠PDE＝∠PCE ＝∠PBF（∵四角形ABPC） ゆえに ∠FDP＋∠PDE＝∠FDP＋∠FBP＝１８０° したがってF，D，Eは同一円周上にある． 注意 この３点D，E，Fを通る直線を△ABCに関する点Pのシムソン線 といいます． シムソン線の証明は回転相似変換の例題 でも取り上げましたが，ここでは複素数でも証明しましょう． なお複素数に関する基本事項は複素平面の基礎知識をご覧ください． 
複素数による証明$\triangle ABC$の外心を原点$O$にとり，$\triangle ABC$の外接円の半径を $1$とする(相似拡大縮小して考える)． $A(a),B(b),C(c)$ とする．複素数平面上の任意の点を$P(p)$から３辺$AB,BC,CA$ またはその延長上に下した垂線の足をそれぞれ$D(d),E(e),F(f)$とする． ここで $|a|^2=a\bar{a}=1,|b|^2=b\bar{b}=1,|c|^2=c\bar{c}=1$ が成り立つことに注意する． 複素数$d,e,f$を求める． $P(p)$を通り直線$AB$に垂直な直線の方程式は $\dfrac{z-p}{a-b}+\dfrac{\bar{z}-\bar{p}}{\bar{a}-\bar{b}}=0$ $a\bar{a}=1,b\bar{b}=1$に注意して $\dfrac{z-p}{a-b}+\dfrac{ab(\bar{z}-\bar{p})}{b-a}$ $\therefore z-ab\bar{z}-p+ab\bar{p}=0\cdots (\sharp)$ 直線$AB$の方程式は $\dfrac{z-a}{a-b}-\dfrac{\bar{z}-\bar{a}}{\bar{a}-\bar{b}}$ 同様の変形より $z+ab\bar{z}-a-b=0\cdots (\flat)$ $(\sharp)+(\flat)$より $2z=a+b+p-ab\bar{p}$ したがって $d=\dfrac{a+b+p-ab\bar{p}}{2}$ 同様に $e=\dfrac{b+c+p-bc\bar{p}}{2},f=\dfrac{c+a+p-ca\bar{p}}{2}$ ３点$d,e,f$が一直線上にあるための必要十分条件が$|p|=1$を証明すればよい． $d-f=\dfrac{(b-c)(1-a\bar{p})}{2},e-f=\dfrac{(b-a)(1-c\bar{p})}{2}$ より $\dfrac{d-f}{e-f}=\dfrac{(b-c)(1-a\bar{p})}{(b-a)(1-c\bar{p})}$ ここで $\dfrac{d-f}{e-f}=\dfrac{\bar{d}-\bar{f}}{\bar{e}-\bar{f}}$ となるための$p$の条件を求めるのであるが $\dfrac{\bar{b}-\bar{c}}{\bar{b}-\bar{a}}\cdot \dfrac{1-\bar{a}p}{1-\bar{c}p} =\dfrac{c-b}{a-b}\cdot \dfrac{a-p}{c-p}$ であるから $\dfrac{1-a\bar{p}}{1-c\bar{p}}=\dfrac{a-p}{c-p}$ を満たす$p$を求めればよい． 分母払って計算すると $(a-c)(|p|^2-1)=0$ $a\neq b$より$|p|=1$を得る．
本題の定理に入りましょう． |
