シムソン線と清宮の定理

本節の目的は清宮の定理の紹介です.清宮とは日本の生んだ代表的初等幾何学者清宮俊雄(1910〜)氏 のことです.
この清宮の定理が日本ではそれほど浸透していません.まことに残念なことです.和算も含め, 日本人の業績は,中学,高校の教育の中でもっと紹介するべきです.日本人の活躍に接することは, 誇りに感じ帰属意識を高めることになるでしょう.


さて,本題に入ります.清宮の定理の土台となるシムソン線の定理から始めます.

定理
△ABCの外接円上の点Pから辺BC,CA,ABまたはその延長に下ろした垂線の足を それぞれD,E,Fとする.このとき,D,E,Fは同一直線上にある.

証明



図で,
∠PDC=∠PEC=90°
∠PFB=∠PDB=90°
であるから4点P,E,C,D;P,D,F,Bはそれぞれ同一円周上にある.
したがって,
∠PDE=∠PCE
=∠PBF(∵四角形ABPC)
ゆえに
∠FDP+∠PDE=∠FDP+∠FBP=180°
したがってF,D,Eは同一円周上にある.
注意
この3点D,E,Fを通る直線を△ABCに関する点Pのシムソン線といいます.

いよいよ本題の定理です.

清宮の定理
△ABCの外接円上の2点をP,Qとし,点PのBC,CA,ABに関する対称点をそれぞれ U,V,Wとする.QU,QV,QWとBC,CA,ABとの交点をそれぞれD,E,F とすれば,D,E,Fは同一直線上にある.




定理の図も込み入っている.定理の意味について解説しましょう.

(1)直線mに関して2点P,Qが同じ側にあるとき
点Pの直線mに関する対称点P’をとり,P’Qと直線mとの交点をDとすると, 直線m上に点Rを取ったときのPR+RQを最小にする点が点Dである.



(2)直線mに関して2点P,Qが反対側にあるとき
点Pの直線mに関する対称点P’をとり,P’Qと直線mとの交点をDとすると, 直線m上に点Rを取ったときの│PR−RQ│を最大にする点が点Dである.




実際,RがDと異なれば 3点P’,Q,Rは一直線上にないから,△P’QRで考えれば
│PR−QR│=│P’R−QR│<P’Q
RがDのときは
│PD−QD│=│P’D−QD│=P’Q
であるからである.
この2つの性質より,定理の意味を次のように書き換えることができる.


定理
△ABCの外接円上の2点をP,Qとする.2点P,Qが直線BCに関して同じ側にあれば 直線BC上の点DをPD+DQを最小にする点,2点P,Qが直線BCに関して反対側にあれば 直線BC上の点Dを│PD−DQ│を最大にする点と定める. 直線CA上の点E,直線AB上の点Fも同様に定める.
このとき,3点D,E,Fは同一直線上にある.



次の図は,P,QがAB,ACに関して反対側にある場合である.



さて,清宮の定理の証明に入りましょう.
メレラウスの定理の逆を用います.すなわち
BD/DC・CE/EA・AF/FB=−1
を証明します.
なお,線分の長さの割り算は,向きも考え,
線分ABの長さを│AB│と表せば
BDとDCが同じ向きのとき
BD/DC=│BD│/│DC│
BDとDCが反対向きのとき
BD/DC=−│BD│/│DC│
とします.
次の図を用いて証明します.



△ABCの面積をSABCと表すと
BD/DC=SBQU/SCUQ
CE/EA=−SCQV/SAQV
AF/FB=SAWQ/SBQW
となります.
図で,
a1=∠PCE,a2=∠PBA,a3=∠ECV,a4=∠FBW
とおきました.
このとき
a1=a2(∵四角形ABPC)
a1=a3(∵CEに関して対称)
a2=a4(∵BFに関して対称)
さらに
∠PCQ=∠PBQ(=b)
より
∠QCV=∠QBW
さらに,CEに関してP,Vは対称より
CP=CV
同様に
BP=BW
したがって
SCQV/SBQW=(CQ・CV)/(BQ・BW)
=(CQ・CP)/(BQ・BP)
同様に
SQAW/SQCU=(AP・AQ)/(CP・CQ)(下図)



SQBU/SQAV=(BP・BQ)/(AP・AQ)(下図)



BD/DC・CE/EA・AF/FB
=SBQU/SCUQ・−SCQV/SAQV
・SAWQ/SBQW
=−1
が成り立ち証明が終了しました.



正方形についての4題


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