補助円(2)問題1AB=ACの二等辺三角形ABCがある.この三角形の外接円およびAB,ACに接する 円を考え,AB,ACとの接点をそれぞれP,Qとする.このとき,線分PQの中点は△ABC の内心であることを証明せよ. (1978年IMO第4問) ここではいくつかの証明を紹介するが,方針は全てBIが∠Bの二等分線になっていることを を示すことである. 以下線分PQの中点をI,AIの延長と△ABCの外接円の交点をDとする. 証明 図で, a1=a2(∵PQ‖BC) =a3(∵接弦定理) 次に, ∠PID=∠PBD=90° より,4点P,B,D,IはPDを直径とする 円周上にある. したがって ∠PBI=∠PDI ADに関して対称であるから DIは∠PDQの二等分線. したがって,BIが∠Bの二等分線であることが証明された. 別解1 青い小円の中心をOとする. ∠PID=∠PBD=90° ∠GPO=∠GDO=90° であるから4点P,B,D,I;P,G,D,O はそれぞれ同一円周上にある. したがって,図で a1=a2=a3 が成り立つ. 一方GOは∠Gの二等分線であり,BC‖GDであるから BIは∠Bの二等分線である. 検討 ACとGDの交点をJとすれば △ABCと△AGJはAを相似の中心とする相似の位置にある. 点Oは△AGJの内心で, BI‖GOが成り立つから,Iが△ABCの内心であることがわかる. 別解2 a1=a2=a3 より4点P,B,D,Gは同一円周上にあり さらに, ∠PBD=∠PID=90° より,5点P,B,G,D,Iは同一円周上にある. 図で, a1=a2 =a3(∵ADに関して対称) −a4 別解3 図で a1=a2=a3 および ∠B=∠I より △PBD≡△PID したがって,PDとBIの交点をKとすると ∠BKD=90° さらに ∠BED=90° より4点B,D,E,Fは同一円周上. また,4点P,B,D,Iも同一円周上である.<> したがって a1=a2=a3 である. 問題2 鋭角三角形ABCの∠Aの2等分線とBCとの交点をL,外接円との交点をNとする.LからAB,ACに 垂線を下ろしその足をそれぞれK,Mとする.このとき,△ABCの面積と四角形AKNMの面積は等しい ことを証明せよ.(1987年IMO第2問) 証明 図で, a1=a2(∵弧KLの円周角) =a3(∵ALは∠Aの二等分線) =a4(∵弧NCの円周角) したがって, KH‖BN 同様に HM‖NC 図で, △KBH=△KNH,△HCN=△HNM したがって,△ABCの面積と四角形AKNMの面積は等しい. 問題3 円Oは△ABCの頂点A,Cを通り,辺AB,BCとそれぞれK,Nで交わるものとする.△ABCの外接円 とBKNの外接円の交点のうちBでないほうをMとする.このとき,∠OMBは直角であることを証明せよ. (1985年 IMO 第5問) 証明 頂点Mの周りの角を△ABCの内角∠A,∠B,∠Cで表す. ∠NMK=∠B@ ∠NMB=∠NKA(∵四角形KBMN) =180°−∠C=∠A+∠BA @,Aより ∠KMB=∠AB さらに ∠BMC=180°−∠AC B,Cより ∠KMC+∠KOC=180° 4点K,M,C,Oは同一円周上にある. ∠BMO=∠BMK+∠KMO =∠BNK+∠KCO =∠A+∠KCO =90° シムソン線と清宮の定理 目次 |