補助円(2)問題１ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがある．この三角形の外接円およびＡＢ，ＡＣに接する 円を考え，ＡＢ，ＡＣとの接点をそれぞれＰ，Ｑとする．このとき，線分ＰＱの中点は△ＡＢＣ の内心であることを証明せよ． （１９７８年ＩＭＯ第４問） ここではいくつかの証明を紹介するが，方針は全てＢＩが∠Ｂの二等分線になっていることを を示すことである． 以下線分ＰＱの中点をＩ，ＡＩの延長と△ＡＢＣの外接円の交点をＤとする． 証明  図で， ａ１＝ａ２（∵ＰＱ‖ＢＣ） ＝ａ３（∵接弦定理）  次に， ∠ＰＩＤ＝∠ＰＢＤ＝９０° より，４点Ｐ，Ｂ，Ｄ，ＩはＰＤを直径とする 円周上にある． したがって ∠ＰＢＩ＝∠ＰＤＩ ＡＤに関して対称であるから ＤＩは∠ＰＤＱの二等分線． したがって，ＢＩが∠Ｂの二等分線であることが証明された． 別解１ 青い小円の中心をＯとする．  ∠ＰＩＤ＝∠ＰＢＤ＝９０° ∠ＧＰＯ＝∠ＧＤＯ＝９０° であるから４点Ｐ，Ｂ，Ｄ，Ｉ；Ｐ，Ｇ，Ｄ，Ｏ はそれぞれ同一円周上にある． したがって，図で ａ１＝ａ２＝ａ３ が成り立つ． 一方ＧＯは∠Ｇの二等分線であり，ＢＣ‖ＧＤであるから ＢＩは∠Ｂの二等分線である． 検討 ＡＣとＧＤの交点をＪとすれば △ＡＢＣと△ＡＧＪはＡを相似の中心とする相似の位置にある． 点Ｏは△ＡＧＪの内心で， ＢＩ‖ＧＯが成り立つから，Ｉが△ＡＢＣの内心であることがわかる． 別解２  ａ１＝ａ２＝ａ３ より４点Ｐ，Ｂ，Ｄ，Ｇは同一円周上にあり さらに， ∠ＰＢＤ＝∠ＰＩＤ＝９０° より，５点Ｐ，Ｂ，Ｇ，Ｄ，Ｉは同一円周上にある．  図で， ａ１＝ａ２ ＝ａ３（∵ＡＤに関して対称） −ａ４ 別解３  図で ａ１＝ａ２＝ａ３ および ∠Ｂ＝∠Ｉ より △ＰＢＤ≡△ＰＩＤ したがって，ＰＤとＢＩの交点をＫとすると ∠ＢＫＤ＝９０° さらに ∠ＢＥＤ＝９０° より４点Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆは同一円周上． また，４点Ｐ，Ｂ，Ｄ，Ｉも同一円周上である．<>  したがって ａ１＝ａ２＝ａ３ である． 問題２ 鋭角三角形ＡＢＣの∠Ａの２等分線とＢＣとの交点をＬ，外接円との交点をＮとする．ＬからＡＢ，ＡＣに 垂線を下ろしその足をそれぞれＫ，Ｍとする．このとき，△ＡＢＣの面積と四角形ＡＫＮＭの面積は等しい ことを証明せよ．（１９８７年ＩＭＯ第２問） 証明  図で， ａ１＝ａ２（∵弧ＫＬの円周角） ＝ａ３（∵ＡＬは∠Ａの二等分線） ＝ａ４（∵弧ＮＣの円周角） したがって， ＫＨ‖ＢＮ 同様に ＨＭ‖ＮＣ  図で， △ＫＢＨ＝△ＫＮＨ，△ＨＣＮ＝△ＨＮＭ したがって，△ＡＢＣの面積と四角形ＡＫＮＭの面積は等しい． 問題３ 円Ｏは△ＡＢＣの頂点Ａ，Ｃを通り，辺ＡＢ，ＢＣとそれぞれＫ，Ｎで交わるものとする．△ＡＢＣの外接円 とＢＫＮの外接円の交点のうちＢでないほうをＭとする．このとき，∠ＯＭＢは直角であることを証明せよ． （１９８５年 ＩＭＯ 第５問） 証明  頂点Ｍの周りの角を△ＡＢＣの内角∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃで表す． ∠ＮＭＫ＝∠Ｂ@ ∠ＮＭＢ＝∠ＮＫＡ（∵四角形ＫＢＭＮ） ＝１８０°−∠Ｃ＝∠Ａ＋∠ＢA @，Aより ∠ＫＭＢ＝∠ＡB さらに ∠ＢＭＣ＝１８０°−∠ＡC B，Cより ∠ＫＭＣ＋∠ＫＯＣ＝１８０° ４点Ｋ，Ｍ，Ｃ，Ｏは同一円周上にある．  ∠ＢＭＯ＝∠ＢＭＫ＋∠ＫＭＯ ＝∠ＢＮＫ＋∠ＫＣＯ ＝∠Ａ＋∠ＫＣＯ ＝９０° シムソン線と清宮の定理 目次 |