補助円(2)

問題1
AB=ACの二等辺三角形ABCがある.この三角形の外接円およびAB,ACに接する 円を考え,AB,ACとの接点をそれぞれP,Qとする.このとき,線分PQの中点は△ABC の内心であることを証明せよ. (1978年IMO第4問)

ここではいくつかの証明を紹介するが,方針は全てBIが∠Bの二等分線になっていることを を示すことである.
以下線分PQの中点をI,AIの延長と△ABCの外接円の交点をDとする.

証明




図で,
a1=a2(∵PQBC)
=a3(∵接弦定理)




次に,
∠PID=∠PBD=90°
より,4点P,B,D,IはPDを直径とする 円周上にある.
したがって
∠PBI=∠PDI
ADに関して対称であるから DIは∠PDQの二等分線.
したがって,BIが∠Bの二等分線であることが証明された.


別解1
青い小円の中心をOとする.



∠PID=∠PBD=90°
∠GPO=∠GDO=90°
であるから4点P,B,D,I;P,G,D,O はそれぞれ同一円周上にある.
したがって,図で
a1=a2=a3
が成り立つ.
一方GOは∠Gの二等分線であり,BCGDであるから BIは∠Bの二等分線である.


検討
ACとGDの交点をJとすれば △ABCと△AGJはAを相似の中心とする相似の位置にある.
点Oは△AGJの内心で, BI‖GOが成り立つから,Iが△ABCの内心であることがわかる.


別解2




a1=a2=a3
より4点P,B,D,Gは同一円周上にあり さらに,
∠PBD=∠PID=90°
より,5点P,B,G,D,Iは同一円周上にある.



図で,
a1=a2
=a3(∵ADに関して対称)
−a4



別解3



図で
a1=a2=a3
および
∠B=∠I
より
△PBD≡△PID
したがって,PDとBIの交点をKとすると
∠BKD=90°
さらに
∠BED=90°
より4点B,D,E,Fは同一円周上.
また,4点P,B,D,Iも同一円周上である.<>



したがって
a1=a2=a3
である.



問題2
鋭角三角形ABCの∠Aの2等分線とBCとの交点をL,外接円との交点をNとする.LからAB,ACに 垂線を下ろしその足をそれぞれK,Mとする.このとき,△ABCの面積と四角形AKNMの面積は等しい ことを証明せよ.(1987年IMO第2問)


証明



図で,
a1=a2(∵弧KLの円周角)
=a3(∵ALは∠Aの二等分線)
=a4(∵弧NCの円周角)
したがって,
KHBN
同様に
HMNC




図で,
△KBH=△KNH,△HCN=△HNM
したがって,△ABCの面積と四角形AKNMの面積は等しい.



問題3
円Oは△ABCの頂点A,Cを通り,辺AB,BCとそれぞれK,Nで交わるものとする.△ABCの外接円 とBKNの外接円の交点のうちBでないほうをMとする.このとき,∠OMBは直角であることを証明せよ. (1985年 IMO 第5問)


証明



頂点Mの周りの角を△ABCの内角∠A,∠B,∠Cで表す.
∠NMK=∠B@
∠NMB=∠NKA(∵四角形KBMN)
=180°−∠C=∠A+∠BA
@,Aより
∠KMB=∠AB
さらに
∠BMC=180°−∠AC
B,Cより
∠KMC+∠KOC=180°
4点K,M,C,Oは同一円周上にある.




∠BMO=∠BMK+∠KMO
=∠BNK+∠KCO
=∠A+∠KCO
=90°







シムソン線と清宮の定理

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