C
補助円

ここでは補助円を利用する問題演習をします.
ここで扱う問題はどれも簡単ではありません.
でも,すぐには答えを見ないで,いろいろ図形を書き考えましょう.
数学の力は,この考える行為のみによって養われ, それを続けさえすれば,数学的考え方,分析力は見につきます.
問題を見て答えをすぐ見ることはとてもったいないことです.
なお問題は,以前出題された入試問題からとってあります.
昭和40年ごろまでは,日本でも高等学校の数学のカリキュラムに初等幾何が入っていたのです.
当時の初等幾何の問題を見ていると,古さを感じないすばらしい問題ばかりです.
それらの問題に興味をもたれたら是非
聖文社刊 数学入試便覧 第1集(昭和31年〜昭和41年)
をごらん下さい.


さて問題に入りましょう.

問題1
円O外の1点Pからこの円に引いた2つの接線の接点をA,Bとする.
円Oの周上の任意の点をCとし,Pを通ってACに平行に引いた直線と直線BCとの交点を Dとすれば,DO⊥ACであることを証明せよ.







解答



問題2
△ABCの内接円とBC,CAとの接点をそれぞれD,Eとし,内心をIとする,
AI,EDの交点をGとすれば BG⊥AGであることを証明せよ.







解答



問題3
円O外の1点Aからひいた2つの接線の接点をP,Qとし,Aから円Oと2点で交わる直線を引き円Oとの交点を B,Cとする.
さらに,Qと弦BCの中点Mを通る弦QRを引く.このとき,PRBCであることを 証明せよ.







解答



問題4
Aを頂点とする二等辺三角形ABCの外接円を円Oとする.
いま辺CAのAを超える延長上に 1点Dをとり,DとBを結ぶと線分BDは弧ABと交わりその交点をEとする..
Cにおける円Oの接線が直線 EAと交わる点をFとすれば,DFはBCに平行であることを証明せよ







解答



問題5
円Oの外の点Pから引いた2つの接線の接点をA,Bとし,Pを通る円Oと2点で交わる 任意の直線と円Oとの交点をQ,Rとする.
Aを通ってPQに平行な弦をACとすればBCは 弦QRを2等分することを証明せよ.







解答





補助円2

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