解答問題１円Ｏ外の１点Ｐからこの円に引いた２つの接線の接点をＡ，Ｂとする． 円Ｏの周上の任意の点をＣとし，Ｐを通ってＡＣに平行に引いた直線と直線ＢＣとの交点を Ｄとすれば，ＤＯ⊥ＡＣであることを証明せよ． 解答  ＣＤの延長上に点Ｔを取る． 図で ａ１＝ａ２（∵ＰＤ‖ＡＣ） ＝ａ３（∵接弦定理） したがって，四角形ＰＤＢＡは円に内接する． さらに，４点Ｐ，Ｂ，Ｏ，Ａは同一円周上にあり，その円はＰＯが直径． この２つの円は３点Ａ，Ｐ，Ｂを共有するから同じ円． ゆえに，５点Ａ，Ｐ，Ｄ，Ｂ，ＯはＰＯを直径とする円周上にある． ∴∠ＰＤＯ＝９０° ＰＤ‖ＡＣよりＤＯ⊥ＡＣが証明された． 問題２ △ＡＢＣの内接円とＢＣ，ＣＡとの接点をそれぞれＤ，Ｅとし，内心をＩとする. ＡＩ，ＥＤの交点をＧとすればＢＧ⊥ＡＧであることを証明せよ． 証br明  ＣＩとＥＤの交点をＦとする． △ＦＩＧに注目すると ∠Ｆ＝９０° ∠Ｉ＝∠Ａ／２＋∠Ｃ／２ ∴∠Ｇ＝∠Ｂ／２ したがって，四角形ＢＤＧＩは円に内接する． ∴∠ＩＧＢ＝∠ＩＤＢ＝９０° 問題３ 円Ｏ外の１点Ａからひいた２つの接線の接点をＰ，Ｑとし，Ａから円Ｏの２点交わる直線を引き円Ｏとの交点を Ｂ，Ｃとする． さらに，Ｑと弦ＢＣの中点Ｍを通る弦ＱＲを引く． このとき，ＰＲ‖ＢＣであることを証明せよ． 証明  ∠ＡＮＯ＝∠ＡＰＯ＝∠ＡＱＯ＝９０° より５点Ａ，Ｐ，Ｏ，Ｍ，ＱはＡＯを直径とする円周上に ある． したがって，図で ａ１＝ａ２（∵対頂角） ＝ａ３（∵円周角） ＝ａ４（∵接弦定理） ∴ ＰＲ‖ＢＣ 問題４<> ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円をＯとする． いま辺ＣＡのＡを超える延長上の１点ＤとＢを結ぶ線分が弧ＡＢとその弧上の１点Ｅで交わっている． Ｃにおける円Ｏの接線が直線ＥＡと交わる点をＦとすれば，ＤＦはＢＣに平行であることを証明せよ. 解答  図で ａ１＝ａ２（∵接弦定理） ＝ａ３（∵ＡＢ＝ＡＣ） ＝ａ４（∵四角形ＡＥＢＣは円に内接する） したがって，４点Ｄ，Ｅ，Ｃ，Ｆは同一円周上にある． ゆえに， ｂ１＝ｂ２（∵円周角） ＝ａ２（∵円周角） ＝ａ３（∵ＡＢ＝ＡＣ） ＢＦ，ＢＣは錯角が等しいから平行である． 問題５ 円Ｏの外の点Ｐから引いた２つの接線の接点をＡ，Ｂとし，Ｐを通る円Ｏと２点で交わる. 任意の直線と円Ｏとの交点をＱ，Ｒとする． Ａを通ってＰＱに平行な弦をＡＣとすればＢＣは弦ＱＲを２等分することを証明せよ． 証明  線分ＱＲの中点をＭとする． ∠ＯＭＰ＝∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝９０° より，５点Ａ，Ｐ，Ｂ，Ｍ，Ｏは 線分ＯＰを直径とする円周上にある． ∠ＣＭＲ＝∠ＡＭＰ（∵ＯＭに関して対称） ＝∠ＢＭＰ（∵弧ＡＰと弧ＢＰに対する円周角は等しい） ＰＭＲは直線で， ∠ＢＭＰ＝∠ＣＭＲ より，点Ｍは線分ＢＣ上にある． したがって，ＢＣは弦ＱＲを２等分する． 補助円２ 目次 |