C
垂足三角形

図形の中に,同一円周上にある4点またはそれ以上の点があれば,それらの点を通る円を描いて考えましょう.
円の性質が使えて,とても考えやすくなります.この問題に応じて付け加える円を補助円と言います.
この補助円は,多くの情報を与えます.
図形の中で有効な補助円を加えることは,たとえ完全な解答には至らなかったとしても, 問題解決のための大きな前進になっています.

これからの3節では,この補助円について解説します.
この節では,垂足三角形の性質を学びます.
補助円の効用に目を向けながら読み進めてください.

鋭角三角形ABCの各頂点A,B,Cから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとします.




AD,BE,CFは△ABCの垂心Hで交わります.
∠HFB=∠HDB=90°
ですから4点H,F,B,Dは同一円周上にあり,その円の中心は線分BHの中点です.
同様に,4点A,F,H,E;E,H,D,Cも同一円周上にあり,その円が図では書いてあります.
図のなかのa,b,cは同じ角度です.aに関して説明すると,
∠BDF
=∠BHF(∵円BDHE)
=∠EHC(∵対頂角)
=∠EDC(∵円HDCE)
さらに
∠BHF=∠A(∵四角形AFHEは円に内接する)
上の図より,D,E,Fは
∠FDB=∠EDC,
∠DEC=∠FEA,
∠EFA=∠DFB
を満たすことがわかります.
すなわち,DからEに向かう光は辺AB,ACで反射してDに戻ってきます.
したがって,D,E,Fは

問題
鋭角三角形ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれP,Q,Rをとる.
このとき
PQ+QR+RP
最小にするP,Q,Rを求めよ.





の解のように思われます.
実際,D,E,Fが条件を満たすと仮定しましょう.
E,Fを固定して考えると,点DはFD+EDを最小にする点です.
したがって,
∠FDB=∠EDC
を満たします.
したがって,次のことが成り立ちます.

命題
鋭角三角形ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれD,E,Fをとり その点が
DE+EF+FD
を最小にするなら,
∠FDB=∠EDC,
∠DEC=∠FEA,
∠EFA=∠DFB
を満たす.

この命題が示せたからといって,問題が解決したわけではありません.すなわち,問題の必要条件を満たす D,E,Fを見つけたに過ぎません.

続く




補助円の準備練習

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