垂足三角形図形の中に，同一円周上にある４点またはそれ以上の点があれば，それらの点を通る円を描いて考えましょう．円の性質が使えて，とても考えやすくなります．この問題に応じて付け加える円を補助円と言います． この補助円は，多くの情報を与えます． 図形の中で有効な補助円を加えることは，たとえ完全な解答には至らなかったとしても， 問題解決のための大きな前進になっています． これからの３節では，この補助円について解説します． この節では，垂足三角形の性質を学びます． 補助円の効用に目を向けながら読み進めてください． 鋭角三角形ABCの各頂点A,B,Cから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとします．  AD,BE,CFは△ABCの垂心Hで交わります． ∠HFB=∠HDB＝９０° ですから４点H,F,B,Dは同一円周上にあり，その円の中心は線分BHの中点です． 同様に，４点A,F,H,E；E,H,D,Cも同一円周上にあり，その円が図では書いてあります． 図のなかのａ，ｂ，ｃは同じ角度です．ａに関して説明すると， ∠BDF ＝∠BHF（∵円BDHE） ＝∠EHC（∵対頂角） ＝∠EDC（∵円HDCE） さらに ∠BHF＝∠A（∵四角形AFHEは円に内接する） 上の図より，D，E，Fは ∠FDB＝∠EDC， ∠DEC＝∠FEA， ∠EFA＝∠DFB を満たすことがわかります． すなわち，DからEに向かう光は辺AB，ACで反射してDに戻ってきます． したがって，D，E，Fは 問題 鋭角三角形ABCの辺BC，CA，AB上にそれぞれP，Q，Rをとる． このとき PQ＋QR＋RP 最小にするP，Q，Rを求めよ．  の解のように思われます． 実際，D，E，Fが条件を満たすと仮定しましょう． E，Fを固定して考えると，点DはFD＋EDを最小にする点です． したがって， ∠FDB＝∠EDC を満たします． したがって，次のことが成り立ちます． 命題 鋭角三角形ABCの辺BC，CA，AB上にそれぞれD，E，Fをとり その点が DE＋EF＋FD を最小にするなら， ∠FDB＝∠EDC， ∠DEC＝∠FEA， ∠EFA＝∠DFB を満たす． この命題が示せたからといって，問題が解決したわけではありません．すなわち，問題の必要条件を満たす D，E，Fを見つけたに過ぎません． 続く 補助円の準備練習 目次 |