補助円の準備練習 次の章から，補助円を用いて問題を解きますが，ここでは，補助円を引く方法はいろいろあることを １つの問題で学び，補助円を引くコツを学んでもらいます． 例題 長方形ＡＢＣＤはＢＣ＝３ＡＢであり，Ｅ，Ｆは辺ＢＣ上の点でＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣを満たす． ＢＤとＡＦの交点をＧとするときＡＦ⊥ＥＧであることを証明せよ．  問題の解析 結論より，四角形ＡＢＥＧは ∠Ｂ＝∠Ｇ＝９０° であるから，４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｇは円に内接します． 逆に４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｇが円に 内接することが証明できれば，この問題は解決します． ここで，考えたように，仮定が成り立つと仮定し，成り立つ性質を調べ，それをヒントに問題を解決する という手法を問題解決の解析といいます． たとえていえば，目的地から逆に戻って， 目的地に行くためにはここにいけばよいと調べることにより目的地への道を見つだす方法です． これは，数学における問題を解決するときの基本となります． 以下いろいろな方法でこの問題を解いていきます． まず，方べきの定理を利用する方法です． 解答１ ＡＢ＝１のとき，  より ＦＧ・ＦＡ＝２ 一方 ＦＥ・ＦＢ＝２ ∴ＦＧ・ＦＡ＝ＦＥ・ＦＢ ４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｇは同一円周上にある． 解答２  ＡＢ＝１，ＡＥとＢＧの交点をＱとする．  ∴ ＡＱ・ＱＥ＝ＢＯ・ＯＧ ４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｇは同一円周上にある． 次に角に注目すれば 解答３  ＥＡ２＝ＥＦ・ＥＣ より，３点Ａ，Ｆ，Ｃをとおる円はＥＡに接する． したがって ∠ＥＡＦ＝∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ より，４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｇは同一円周上にある． 解答４  ＣＤのＤを越える延長上に点ＨをＣＤ＝ＤＨ を満たすようにとる． 四角形ＡＢＤＨは平行四辺形であり， △ＡＦＨは直角二等辺三角形より， ∠ＢＧＡ＝∠ＦＡＨ＝４５°＝∠ＡＥＢ より，４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｇは同一円周上にある． 座標を導入するととても解きやすくなる．  ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸，Ｅ（１，０）とすると Ｇ（６／５，２／５）より ＧＥ２＋ＧＦ２＝ＥＦ２ を証明してもよいし，ベクトルの内積 ＧＥ・ＧＦ＝０ を示しても良い． 例えば，命題３の ∠ＥＡＦ，∠ＤＢＣの余弦の値は，ベクトルの内積で計算すれば，基本的な計算問題です． 補助円 目次 |