C 補助円の準備練習
補助円の準備練習

次の章から,補助円を用いて問題を解きますが,ここでは,補助円を引く方法はいろいろあることを 1つの問題で学び,補助円を引くコツを学んでもらいます.

例題
長方形ABCDはBC=3ABであり,E,Fは辺BC上の点でBE=EF=FCを満たす.
BDとAFの交点をGとするときAF⊥EGであることを証明せよ.

問題の解析
結論より,四角形ABEGは
∠B=∠G=90°
であるから,4点A,B,E,Gは円に内接します.
逆に4点A,B,E,Gが円に 内接することが証明できれば,この問題は解決します.

ここで,考えたように,仮定が成り立つと仮定し,成り立つ性質を調べ,それをヒントに問題を解決する という手法を問題解決の解析といいます.
たとえていえば,目的地から逆に戻って, 目的地に行くためにはここにいけばよいと調べることにより目的地への道を見つだす方法です.
これは,数学における問題を解決するときの基本となります.

以下いろいろな方法でこの問題を解いていきます.
まず,方べきの定理を利用する方法です.
解答1

AB=1のとき,

より
FG・FA=2
一方
FE・FB=2
∴FG・FA=FE・FB
4点A,B,E,Gは同一円周上にある.

解答2

AB=1,AEとBGの交点をQとする.

∴ AQ・QE=BO・OG
4点A,B,E,Gは同一円周上にある.

次に角に注目すれば
解答3

EA=EF・EC
より,3点A,F,Cをとおる円はEAに接する.
したがって
∠EAF=∠ACB=∠DBC
より,4点A,B,E,Gは同一円周上にある.

解答4

CDのDを越える延長上に点HをCD=DH を満たすようにとる.
四角形ABDHは平行四辺形であり, △AFHは直角二等辺三角形より,
∠BGA=∠FAH=45°=∠AEB
より,4点A,B,E,Gは同一円周上にある.


座標を導入するととても解きやすくなる.

BCをx軸,ABをy軸,E(1,0)とすると G(6/5,2/5)より
GE+GF=EF
を証明してもよいし,ベクトルの内積
GEGF=0
を示しても良い.
例えば,命題3の ∠EAF,∠DBCの余弦の値は,ベクトルの内積で計算すれば,基本的な計算問題です.


補助円

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