垂足三角形の続き さあ，これから残りの問題を解決いたしましょう． まず垂足三角形の定義をいたします． 定義 鋭角三角形ABCの各頂点A，B，Cから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD，E，Fとする． このとき．△DEFを△ABCの垂足三角形という． 垂足三角形が問題の答えになることをいくつかに分け順序だって説明します． 準備１ △ABCの辺BC上に１点Dが与えられている． 辺AC上に点E，辺AB上に点Fを取り DE＋EF＋FD を最小にしたい．E，Fはどのようにとればよいか． 解答 辺AB，辺ACに関して点Dと対称な点をそれぞれD’，D”として考えましょう．  辺AC，AB上にそれぞれ点Q，点Rを取れば QD＝QD” RD＝RD” したがって DQ＋QR＋RD ＝D”Q＋QR＋RD’ より，E，Fは線分D’D”と辺AC，ABとの交点とすればよい． 準備２ Dによって，D’D”の長さは決まります．D’D”の長さを一番短くするにはDをどこにとればよいか． 解答  △AD’D”に注目します． ∠D’AD”＝２∠A＝（一定） で AD’＝AD”＝AD が成り立ちます． したがって，ADの長さが一番短いとき，すなわちDがAから辺BCに下ろした垂線の 足のときD’D””が一番短くなることがわかりました． ちなみに，D’D”の最小値は２ADsinAです． 概ね証明は完成したのですが，最後に次の証明をしましょう． 最後の準備 鋭角三角形ABCで頂点Aから対辺に下ろした垂線の足をD，辺AB，ACに関してDと対称な点をそれぞれ D’，D”，D’D”と辺AC，ABとの交点をE，Fとする． このとき，EはBからACに下ろした垂線の足であり，FはCから ABに下ろした垂線の足である． 証明  円の性質を利用しましょう． ∠ADE ＝∠AD”E（∵ACに関して対称） ＝∠AD’F（∵AD’＝AD”） したがって，４点A，D’，D，Eは同一円周上にある． ∠AD’B＝∠ADB（∵ABに関して対称） より４点A，D’，B，Dは同一円周上． ２つの円は３点A，D’，Dを共有するから同じ円である．したがって， ５点A，D’，B，D，Eは同一円周上にある． さらに，∠ADB＝９０°より，この円はABを直径とする円である． したがって，∠BEA＝９０°が証明された． ∠CFA＝９０°も同様です． 最後にDE＋EF＋FAの長さ２ADsinAはちょっと違和感がありますよね．A，B，Cの対称性がある式に変形しよう． AD＝ABsinB＝２RsinCsinB したがって ２ADsinA＝４RsinAsinBsinC 以上で次の定理が証明されました． 定理 鋭角三角形ABCの辺BC，CA，AB上にそれぞれD，E，Fをとり DE＋EF＋FD を最小にするD，E，FはそれぞれA，B，Cから対辺に下ろした垂線の足であり， さらにその最小値は ４RsinAsinBsinC である．ただしRは△ABCの外接円の半径である． 補助円の準備練習 目次 |