円

円周角

第３部は円を扱います．
もし円がなければ，平面幾何の面白さは半減するでしょう．
円の面白さを支えている，一番の性質は円周角の定理です．
まず，円周角の定義を確認しましょう．なお，今後弧ABのことを (弧AB)と括弧をつけいて表します．

定義
図のように円Oの周上に３点A，B，Pをとる．
このとき ∠APBを(弧AB)に対する円周角といい，∠AOBを（弧AB）に対する中心角という．
また逆に，(弧AB)を円周角∠APBに対する弧といい，中心角∠AOBに対する弧ともいう．

次が円についてのもっとも大切な定理です．

円周角の定理
１つの円における,与えられた弧に対する円周角の大きさは一定であり，その大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である．
すなわち，上の図で
∠APB＝∠AOB／２
が成り立つ．

証明

は POの延長と円との交点をQとする．
△OAPはOA＝OPの二等辺三角形．したがって，
∠APO＝∠AOQ／２
同様に
∠BPO＝∠BOQ／２
∴∠APB＝∠AOB／２

さて，円周角の定理の逆を考えましょう．
といってもこのままでは，逆の命題ははっきりしません．
命題は，前提，仮定，結論からなり，前提を変えず，仮定と結論を交換した命題が逆の命題です．
そこで，円周角の定理を次のように書き換えます．

円周角の定理
１つの円周上に３点A，B，Qがある．
直線ABに関して点Qと同じ側に点Pを取る．
このとき
Pは円周上にある
→∠P＝∠Q
が成り立つ．

円周角の定理の逆の命題は，前半（前提）を変えず，仮定と結論を交換して次の命題になります．

円周角の定理の逆
１つの円周上に３点A，B，Qがある．
直線ABに関して点Qと同じ側に点Pを取る．
このとき
∠P＝∠Q
→Pは円周上にある

この円周角の定理の逆を証明するために，円周角の定理を拡張する必要あります．

円周角の定理の拡張
１つの円周上に３点A，B，Qがある．
直線ABに関して点Qと同じ側に点Pを取る．
このとき，次が成り立つ．
①　点Pが円周上にある→∠P＝∠Q
②　点Pが円の外部にある→∠P＜∠Q
③　点Dが円の内部にある→∠P＞∠Q

証明
①は円周角の定理です．

②は，

∠P＜
∠P＋∠PAR
＝∠R
＝∠Q

③は

∠Q＝∠R
＜∠R＋∠RBP
＝∠P
で証明が終了しました．

この定理に転換法を用いることにより逆が証明され，次の定理が成り立ちます．

定理
円の周上に３点A，B，Qがあり，点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にある．
このとき次が成り立つ．
①　点Pが円の外にある
⇔∠P＜∠Q
②　点Pが円の周上にある
⇔∠P＝∠Q
③点Pが円の内部にある
⇔∠P＞∠Q

例題
定円周上を同じ方向に同じ速さで２つの点P，Qが回っている．円周上に２定点A，Bを取り，２直線AP，BQを作れば，そのなす角は一定であることを証明せよ．
証明
次の２つの場合が考えられます．

A，Bは定点ですから（弧AB）は一定，P，Qは同じ方向，同じ速さなのでやはり（弧PQ）も一定です．
したがって，
∠P＝∠Q，∠A＝∠B
∠R＝∠A＋∠P，または
∠R＝│∠A－∠P│
ですから，いずれの場合も∠Rは一定です．

例題１
円の直径に垂直に交わる弦は，その直径によって２等分されることを証明し，その逆も調べよ．

解答

弦ABと直径との交点をPとする．
点Pが円の中心と異なるとき．すなわち弦ABが直径でないとき.
△OABはOA＝OBの二等辺三角形ですから，∠OPA＝９０°より AP＝BPが成り立ちます．
点Pが円の中心Oと一致するとき.
弦ABは直径ですから，点Oで２等分されます．

逆について
弦ABが直径で２等分されるとき．
弦ABと直径の交点をPとする．
点Pが円の中心Oでないとき．
△OPA≡△OPB
よりAB⊥OP
したがって，弦ABは直径と直交します．
点Pが円の中心Oと一致するとき．
弦ABは常に直径で２等分され，弦ABが直径に直交するとはいえません．
したがって，①の逆の命題は次のようになります．

命題
円の直径によって２等分される弦は，直径に垂直に交わるかまたは直径である．

例題２
　△ABCの辺BCの中点をＭとする．∠BAＭ＋∠ACBが直角であるとき，△ABCはどのような形であるか調べよ．
証明

AＭの延長と円Oとの交点をDとします．
このとき
９０°＝∠BAＭ＋∠ACB＝∠BAＭ＋∠ADB
より，弦ADは直径です．
弦BCは直径ADで二等分されるから BCは直径か，BC⊥ADが成り立ちます．
BCが直径のとき△ABCは∠A＝９０°の直角三角形で，
BC⊥ADのとき△ABCはAB＝ACの二等辺三角形です．

円と四角形

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