転換法

ここでは逆を証明するのに用いるもう1つの証明法である転換法について学びます.
転換法の原理は難しくありません.

(転換法の原理)
真であるいくつかの命題
A→P
B→Q
C→R
があり,
次の2条件を満たしている.
(1)仮定のA,B,Cはすべての場合をつくしている.
(2)P,Q,Rはどの2つも共通部分を持たない.
このとき,それぞれの命題の逆
P→A
Q→B
R→C
がなりたつ.
すなわちAとP,BとQ,CとRはそれぞれ同値
A⇔P,
B⇔Q,
C⇔R
である.


成り立つ理由は次の通りです.
P→Aを証明しましょう.
pをPの真理集合の任意の要素とします.
このとき,A,B,Cは全ての場合を尽くしているから
p→A,
p→B,
p→C 
のいずれかは成り立ちます.
そこで,
もしp→Bとすると
B→Qより
p→Qとなり,
PとQが共通部分を持たないに矛盾します.
したがって,
p→Qは成り立ちません.
同様にp→Rが成り立たないので p→Aが示せました.
pはPの任意の要素で上記のことが 成り立つので
命題P→A
が成り立ちます.
Q→B,
R→C
も同様です.
転換法を用いる例を挙げましょう.

例1
  a,b,cを実数とする.
xについての2次方程式
ax+bx+c=0
の判別式を
D=b−4ac
とおく.
このとき次が成り立つ.
D>0→2つの異なる実数解を持つ
D=0→重解を持つ
D<0→実数解を持たない


転換法が用いることが出来ることを確認しましょう.
Dは実数ですから,仮定は全ての場合を尽くしており,結論はどの2つも両立 しないから,それぞれ逆が成り立ちます.

例2
xを正の整数,pを素数とします.
xがpの倍数→xはpの倍数
xがpの倍数でない→xはpの倍数でない.

転換法を用いることができ
xがpの倍数⇔xはpの倍数
xがpの倍数でない⇔xはpの倍数でない.
となります.

pが素数でないと成り立たないことに注意しましょう.
例えばx=2でp=4のとき逆は成り立ちません.

例3
△ABCにおいて
AB>AC→∠C>∠B
AB=AC→∠C=∠B
AB<AC→∠C<∠B
この命題は証明が必要です.



AB>AC
のとき辺AB上に
点Dを
AD=AC
を満たすようにとります.
このとき
∠C=∠BCD+∠DCA
>∠DCA
=∠ADC
=∠B+∠DCB
>∠B
したがって
∠C>∠B
この命題と転換法より

命題
△ABCにおいて
AB>AC⇔∠C>∠B
AB=AC⇔∠C=∠B
AB<AC⇔∠C<∠B
が成り立つ

となります.

例4
円の周上に3点A,B,Qがあり,点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にある.
このとき次が成り立つ.
(1)点Pが円の外にある→∠P<∠Q
(2)点Pが円の周上にある→∠P=∠Q
(3)点Pが円の内部にある→∠P>∠Q

証明
図を参考に理解してください.



(2)~証明します.△OPA,△OPBはともに2等辺三角形.
したがって
∠AOB=2∠P
同様に
∠AOB=2∠Q
したがって
∠P=∠Q
です.




(1)は
∠P<
∠P+∠PAR
=∠R
=∠Q



(3)は
∠Q=∠R
<∠R+∠RBP
=∠P
この命題も転換法より

命題
円の周上に3点A,B,Qがあり,点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にある.
このとき次が成り立つ.
(1)点Pが円の外にある
⇔∠P<∠Q
(2)点Pが円の周上にある
⇔∠P=∠Q
(3)点Pが円の内部にある
⇔∠P>∠Q


と書き換えられます.

以上いくつかの例を挙げました.
転換法が成り立つための2条件は自然な条件です.
仮定をいくつかの場合に分けて考えている命題はほとんどの場合で転換法が使え同値になります.

転換法の応用

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