円と四角形ここでは，円に内接する四角形，円に外接する四角形を考えます．三角形は必ず，内接する円，外接する円がありましたが，四角形では，そうはいきません． 先ず，円に内接する四角形を考えましょう． 円に内接する四角形について次の命題が成り立ちます． 命題 四角形ABCDで次が成り立つ． 四角形ABCDが円に内接する ⇔∠A＋∠C＝１８０ 証明 （→）  四角形ABCDが円に内接するとき，円周角の定理より ∠A＋∠C＝ｘ＋ｙ＝１８０° が成り立ちます． （←）  △BCDの外接円上のBDに関してAと同じ側に点A’ をとります． このとき， 仮定より ∠A＋∠C＝１８０° 四角形A’BCDは円に内接するから ∠A’＋∠C＝１８０° ∴ ∠A＝∠A’ したがって，３点B，C，Dの定める円周上に点Aあるので，四角形 ABCDは円に内接する． 例 △ABCで辺BC，CA，AB上にそれぞれD，E，Fをとる． このとき，△AFE，△BDF，△CEDの外接円は１点で交わる． 証明  ３点A，F，Eを通る円と３点B，D，Fを通る円の交点のうちFでないほうの点をPとする． このとき ∠AEP＝∠BFP ∠BFP＝∠PDC ∴∠AEP＝∠PDC したって，４点C，E，P，Dは同一円周上にある． ゆえに，△AFE，△BDF，△CEDの外接円は１点Pで交わる． この証明で用いたように 四角形ABCDにおいて  ∠C＋∠DCE＝１８０°であるから 四角形ABCDにおいて ∠A＋∠C＝１８０° ⇔∠A＝∠DCE が成り立ちます． したがって，四角形が円に内接するための必要十分条件は 次のようにまとめることができます． 命題 四角形ABCDで次が成り立つ． 四角形ABCDが円に内接する ⇔∠A＋∠C＝１８０°@ ⇔∠A＝∠DCF A @を１組の対角の和が１８０°である Aを１つの外角がそれと隣り合う内角の対角に等しい といいます． いくつかの角が関係した複雑な図形のときはAの関係式の ほうが使いやすいでしょう． 円に外接する四角形 目次 |