C
円と四角形

ここでは,円に内接する四角形,円に外接する四角形を考えます.
三角形は必ず,内接する円,外接する円がありましたが,四角形では,そうはいきません.
先ず,円に内接する四角形を考えましょう.
円に内接する四角形について次の命題が成り立ちます.

命題
四角形ABCDで次が成り立つ.
四角形ABCDが円に内接する
⇔∠A+∠C=180

証明
(→)



四角形ABCDが円に内接するとき,円周角の定理より
∠A+∠C=x+y=180°
が成り立ちます.

(←)



△BCDの外接円上のBDに関してAと同じ側に点A’ をとります.
このとき, 仮定より
∠A+∠C=180°
四角形A’BCDは円に内接するから
∠A’+∠C=180°
∴ ∠A=∠A’
したがって,3点B,C,Dの定める円周上に点Aあるので,四角形 ABCDは円に内接する.


△ABCで辺BC,CA,AB上にそれぞれD,E,Fをとる.
このとき,△AFE,△BDF,△CEDの外接円は1点で交わる.
証明

3点A,F,Eを通る円と3点B,D,Fを通る円の交点のうちFでないほうの点をPとする.
このとき
∠AEP=∠BFP
∠BFP=∠PDC
∴∠AEP=∠PDC
したって,4点C,E,P,Dは同一円周上にある.
ゆえに,△AFE,△BDF,△CEDの外接円は1点Pで交わる.
 
この証明で用いたように 四角形ABCDにおいて



∠C+∠DCE=180°であるから 四角形ABCDにおいて
∠A+∠C=180°
⇔∠A=∠DCE
が成り立ちます.
したがって,四角形が円に内接するための必要十分条件は 次のようにまとめることができます.

命題
四角形ABCDで次が成り立つ.
四角形ABCDが円に内接する
⇔∠A+∠C=180°@
⇔∠A=∠DCF  A

@を1組の対角の和が180°である
Aを1つの外角がそれと隣り合う内角の対角に等しい
といいます.
いくつかの角が関係した複雑な図形のときはAの関係式の ほうが使いやすいでしょう.




円に外接する四角形

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