相似の位置の応用1
相似の位置を用いて問題を解いていきます.
面白そうな問題をそろえました.
ヒントを参考にして,自分で考えることお勧めします.
たとえ答えまではたどり着かなくとも,考えれば ,考えるほど,数学的分析力,洞察力が身につき,十分考えていれば,解答を見たときも, 感動があり,それが数学の楽しさの第一歩です.

問題1
図のように,点Oを通る3つの半直線OX,OY,OZと点Aが与えられている.
Aを通る直線が3直線OX,OY,OZと交わる点をそれぞれP,Q,Rとする.
(1)PQ=QRとなる直線APQRを求めよ.
(2)PQ:QR=m:nとなる直線APQRを求めよ.






問題2
図の正方形を拡大して,与えられた△ABCに内接する正方形を作れ.






問題3
定円Oの2つの半径OA,OBが与えられている.
このとき,OA,OBによって 3等分される円Oの弦を作れ.




問題4
△ABCにおいて,辺BC上の1点Pから辺ABに下ろした垂線の足をQ, Qから辺ACに下ろした垂線の足をRとする.
このとき,∠QPRが直角になるのは点Pをどこに とったときか.









ヒント
問題1




OX,OY,OZ上にそれぞれP’,Q’,R’をP’Q’=Q’R’ を満たすように取りましょう.OY上にOQ’=Q’Q”を満たすようにQ” を取ると考えやすい.

解答


問題2





Sを通りABに平行な直線とRを通りACに平行な直線により作った三角形が △A’B’C’です.△ABCと△A’B’C’は対応辺が平行だから相似の位置にあります. 相似の中心を見つけましょう.

解答


問題3



ABの延長上にP,Qを PA=AB=BQ を満たすように取ります. このとき,△PAO≡△QBOより OP=OQが成り立ちます.

解答


問題4



Q’を辺AC上の任意の点,Q’からACに下ろした垂線の足をR’, Q’においてABに垂直な直線上に点P’を∠Q’P’R’=90°, すなわち,Q’R’を直径とする円とQ’を通りABに垂直な直線との交点を P’として考えましょう.

解答



ここでの問題は,作図題といわれ,求める図形(点が多い) を作図によって求めよいう意味です.
作図とは,目盛りのない定規,すなわち直線を引くだけにしか使えない定規とコンパスを 有限回数だけ用いて図形を描くことです.
ここで用いる作図方法のうち,与えられた点を通り与えられた直線にお平行な直線を引く作図 と線分ABをm:nに内分する点の作図を書いておきます.参考にして下さい.

点Pを通り直線mに平行な直線の作図.



Pを通る直線を引き,角を移動し,同位角が等しいとします.


線分ABをm:nに内分する点Pの作図



Aを通る線分で,AC:CD=m:nであるようにC,Dを定め, PCBDでPを定めます.


相似の位置の応用2

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