2つの円

中心相似変換(相似の位置)を利用すると，２円の共通接線が扱いやすくなる．


命題3
２円の相似の中心を通る直線が片方の円に接するならもう一方の円にも接する．
証明
２円を$\circledcirc A(r),\circledcirc B(R)$とし，
$H(O,\frac{R}{r}):\circledcirc A(r)\mapsto \circledcirc B(R)$
とする．
$O$を通り，円$\circledcirc A$に接線を引き接点を$P$とする．
$H(O,\frac{R}{r}):P\mapsto P'$
とすると，$P\in \circledcirc A$より$P'\in \circledcirc B$
このとき，直線$OP$は$\circledcirc B$の接線である．
実際，直線$OP$が円$\circledcirc B$の接線でないと仮定する．$OP$が$\circledcirc B$ と$P'$以外の点で交わり，その点を$Q'$とする．$H(O,\frac{R}{r})$は１対１であるから 直線$OP$は$\circledcirc A$の$P$以外の点でも交わるので，直線$OP$が円$\circledcirc A$ の接線でない．
したがって，直線$OP$が２円の共通接線である．
$H(O',-\frac{R}{r})$のときも同様に示すことができる．


注意
命題1,2,3の証明を与えたが，どの事実も当たり前として証明なしで用いてよい．
実際，共通外接線，共通内接線が引ける場合を考えると，共通外接線の交点及び共通内接線の交点が 相似の中心である．

２円の共通内接線，共通外接線は相似の中心を用いると簡単に求まる．

例題1
２円$x^2+y^2=1,(x-4)^2+y^2=4$の共通外接線，共通内接線の式を求めよう．
２円の中心はそれぞれ$A(0,0),B(4,0)$である．
線分$AB$を$1:2$に外分する点は$(-4,0)$,内分する点は$(\frac{4}{3},0)$である．
$(-4,0)$を通り円$x^2+y^2=1$接する直線が共通外接線である．したがって，
$y=k(x+4)$とおき，原点との距離が$1$より
$y=\pm \dfrac{1}{15}(x+4)$
$(\frac{4}{3},0)$を通り，円$x^2+y^2=1$に接するのが共通内接線である． したがって
$y=\pm \dfrac{3}{\sqrt{7}}(x-\dfrac{4}{3})$


例題2
円$\circledcirc A$が円$\circledcirc B$に点$O$で内接している．
$\circledcirc A$上の点$P$における接線と$\circledcirc B$との交点を$Q,R$とすると
$OP$は$\angle QOR$の２等分線である．

証明
2円$\circledcirc A,\circledcirc B$の半径をそれぞれ$r,R$する．
接点$O$が相似の中心で，
$H(O,\frac{R}{r}):\circledcirc A\mapsto \circledcirc B$
$OQ,OR$と円$\circledcirc A$との交点をそれぞれ$Q',R'$とすると
$H(O,\frac{R}{r}):Q'\mapsto Q,R'\mapsto R$
したがって
$QR\parallel QR'$
右図で
$a=b$(接弦定理)，$a=c$
より
$b=c$
円周角の定理より
$\angle QOP=\angle ROP$


例題3
円$\circledcirc A$は円$\circledcirc C$と点$P$で外接し円$\circledcirc B$は円$\circledcirc C$と点$Q$ で外接している．このとき，直線$PQ$と直線$AB$の交点$O$が ２円$\circledcirc A,\circledcirc B$の相似の中心である．
証明
直線$PQ$と円$\circledcirc B$との交点のうち，$Q$でない方を$R$とする．
$H(Q):\circledcirc C\mapsto \circledcirc B$
より
$BR\parallel CP$
がわかる．さらに３点$A,P,C$は一直線上にあるから
$BR\parallel AP$
$OB:OA=BR:AP$
すなわち，点$O$は線分$BA$を半径の比に外分する点であるから相似の中心である．

回転相似変換

目次