相似の位置の続き 最後に２円の関係を述べます． 命題 ２つの半径の異なる円は必ず相似の位置にある． 相似の中心は，２円の中心を結ぶ線分を半径の比に内分した点， 外分した点と２点ある． 上の図で，点Ｐは線分ＯＯ’を２つの円の半径の比に外分した点です． Ｐを通る直線と円Ｏ，Ｏ’との交点を図のようにＡ，Ｂ，Ａ’，Ｂ’とする． △ＰＯＡと△ＰＯ’Ａ’で ∠Ｐが共通， ＰＯ：ＯＡ＝ＰＯ’：Ｏ’Ａ’ ， および∠Ａ，∠Ａ’がともに鈍角より △ＰＯＡ∽△ＰＯ’Ｂ． （△ＰＯＡと△ＰＯ’Ｂ’の場合があるので，∠Ａ，∠Ａ’が鋭角か鈍角かを明記する 必要がある．両意の合同を参照） したがって， ＰＡ：ＰＡ’＝ＰＯ：ＰＯ’ よって，円Ｏ上の点Ａと円Ｏ’上の点Ａ’が対応し，２円Ｏ，Ｏ’が 点Ｐを相似の中心とする相似の 位置にある． 線分ＯＯ’の内分点も同様に相似の中心であることが分かる． ２円Ｏ，Ｏ'に共通外接線，共通内接線が引けるとき，線分ＯＯ’を半径の比に 外分する点は共通外接線の交点，内分する点は共通内接線の交点ですので， 相似の位置の中心は見つけやすい．ただ，片方の円がもう一方の円を含む ときのように共通接線が引けないときもあります．当 然このときも２円は相似の位置にあります． 相似の位置が問題解法にどのように利用されるか１つ例を挙げましょう． 例 次の図で，点Ｐは円Ｏ，Ｏ’の共通外接線の交点です． このとき，２円Ｏ，Ｏ’は点Ｐを相似の 中心とする相似の位置にあります． したがって円Ｏの弧ＡＢと円Ｏ’の弧ＢＣは対応し ∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ が成り立ちます． また， ＡＢ：ＢＣ＝ＰＯ：ＰＯ’ も成り立ちます． 次回は相似の位置を使って問題を解いていきます． 相似の位置の応用１ 目次