相似の位置の続き

最後に2円の関係を述べます.

命題
2つの半径の異なる円は必ず相似の位置にある.
相似の中心は,2円の中心を結ぶ線分を半径の比に内分した点, 外分した点と2点ある.





上の図で,点Pは線分OO’を2つの円の半径の比に外分した点です.
Pを通る直線と円O,O’との交点を図のようにA,B,A’,B’とする.
△POAと△PO’A’で
∠Pが共通,
PO:OA=PO’:O’A’
, および∠A,∠A’がともに鈍角より
△POA∽△PO’B.
(△POAと△PO’B’の場合があるので,∠A,∠A’が鋭角か鈍角かを明記する 必要がある.両意の合同を参照)
したがって,
PA:PA’=PO:PO’
よって,円O上の点Aと円O’上の点A’が対応し,2円O,O’が 点Pを相似の中心とする相似の 位置にある.
線分OO’の内分点も同様に相似の中心であることが分かる.
2円O,O'に共通外接線,共通内接線が引けるとき,線分OO’を半径の比に 外分する点は共通外接線の交点,内分する点は共通内接線の交点ですので, 相似の位置の中心は見つけやすい.ただ,片方の円がもう一方の円を含む ときのように共通接線が引けないときもあります.当 然このときも2円は相似の位置にあります.

相似の位置が問題解法にどのように利用されるか1つ例を挙げましょう.


次の図で,点Pは円O,O’の共通外接線の交点です.
このとき,2円O,O’は点Pを相似の 中心とする相似の位置にあります.
したがって円Oの弧ABと円O’の弧BCは対応し
∠ADB=∠BDC
が成り立ちます.
また,
AB:BC=PO:PO’
も成り立ちます.



次回は相似の位置を使って問題を解いていきます.





相似の位置の応用1

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