４．両意の合同

今回は，前回扱った直角三角形の合同条件のうち，

斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい

を別の角度から眺めてみましょう．
具体的に書くと，
△ABCと△DEFで
∠C＝∠F＝９０°
AB＝DE
AC＝DF




が成り立つとき，２つの直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれひとしいから
△ABC≡△DEF
が成り立ちます．
ここでは，上の合同条件で∠C＝∠Fが９０°でないときどうなるかを考えます． 斜辺ABは∠Cの対辺ですから，ここでの条件は
２辺とそのいずれかの辺の対角がそれぞれ等しい・・・@
となります．

さて具体的に考えましょう．調べたいことは
△ABCと△DEFで
∠C＝∠F
AB＝DE
BC＝EF
が成り立つときの△ABCと△DEFの関係です．

辺EFを定め，Fを通り∠Cと同じ角をなす半直線を引き，Eを中心とする半径ABの円を 書き，半直線との交点が残りの頂点Dです．図の場合は点Dが２つ存在します． 常に２つ存在するかというとそうではありません．



図から分かるように，ABの長さによって変わります， すなわち，Bから半直線CAに引いた垂線をBH（垂線を引いたときの直線との交点を垂線の足と いいます．この場合， 頂点Bから半直線CAに引いた垂線の足をHとするといいます）とします．三角比の知識があれば
BH＝BC$\sin C$
です．
BA＜BHのとき，△ABCは存在しないので，ここでは考える必要はありません．r
BA＝BHのとき，△ABCは直角三角形で唯一つ存在します．
BH＜BA＜BCのとき△ABCは２つ存在します． BC≦BAのとき△ABCは唯一つ存在します．

今までの内容を整理しましょう． △ABCと△DEFで
∠C＝∠F
AB＝DE
BC＝EF
のとき，与えられた∠Cの対辺の長さABによって三角形の個数が決まります． どのように決まるかというと， ABがBH＜AB＜BCのとき三角形は２つあり，BHまたはBCに等しいかまたはBCより長ければ 唯一つに決まることが 分かりました．したがって新しい合同条件を次のように表すことができます，
△ABCと△DEFで
∠C＝∠F
AB＝DE
BC＝EF
$AB=BC\sin C$または$BC\leqq AB$
のとき△ABC≡△DEFである．

ここで面白いのは，$BC\sin C < AB < BC$の場合で，三角形が２つある場合の２つの三角形の関係です． それを考えましょう．



△ABCと△DEFで
∠C＝∠F
AB＝DE
BC＝EF
のとき，辺BCの対角について考えましょう．
上図で△BAA’が２等辺三角形ですから△ABCと△A’BCの∠Aと∠A’について ∠A＋∠A’＝１８０° が成り立ちます．2つの角の和が１８０°になるとき補角をなすといいます．すなわち，∠Aと∠A’は 補角をなす．



以上まとめると次のようになります． △ABCと△DEFで
∠C＝∠F
AB＝DE
BC＝EF
のとき，∠C＝∠Fの対辺AB＝DEの長さと与えれたBC＝DFの長さとの関係で△DEFが 1つに決まったり2つあったりする．さらに２つあるとき， 言い方を変えれば
$BC\sin C < AB < BC$
のとき， 2つの三角形のBC＝EFの対角は補角をなします．

最後に1つ例題を解きましょう．
例題
△ABCで∠A，∠Cの2等分線の交点をI，AI，CIの延長と辺BC，ABとの交点を それぞれD，Eとします．ここでDI＝EIが成り立つとき△ABCはどのよう な三角形であるか調べましょう．

解答
Iは△ABCの内心ですから ∠EBI＝∠DBIが成り立ちます．
△BIEと△BIDにおいて
∠B＝∠B
BI＝BI
IE＝ID
ですから，△BIE≡△BIDまたは∠E+∠D＝180°が成り立ちます．
△ACEに注目し
∠BEC＝∠A＋∠C／２
同様に
∠BDA＝∠A／２＋∠C
であるから，
∠E＝∠Dのとき∠A＝∠Cの２等辺三角形．
∠E＋∠D＝１８０°のとき∠A＋∠C＝１２０°.したがって，△ABCは∠B＝６０° の三角形となりました．
逆も確認しましょう．すなわち，△ABCが∠A＝∠Cの２等辺三角形のときも，∠B＝６０°の ときも，DI＝EIが成り立つことも示しましょう．
まず，∠A＝∠CすなわちBA＝BCのとき． △AEC≡△CDA(∵１辺とその両端の角がそれぞれ等しい)， △ICAがAI＝CIの２等辺三角形よりID＝IEが成り立ちます．



つぎに，∠B＝６０°のとき．
Iから辺BC，ABに下ろした垂線の足をそれぞれH，Kとすると，Iが内心より IH＝IK
△IHDと△IKEにおいて
IH＝IK・・@
∠H＝∠K・・A
また，∠B＝６０°のとき
∠BEC＋∠BDA
＝∠A＋∠C／２＋∠C＋∠A／２
＝３（∠A＋∠C）／２＝１８０°



よって
∠AEC＝∠ADB・・B
ABより
∠DIH＝∠KIE
１辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△IHD≡△IKE
よってID＝IE．
したがって求める条件は
$\triangle ABC$が$\angle A=\angle C$の二等辺三角形か$\angle B=60^{\circ}$の三角形のときである．

三角形の相似

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