4.両意の合同
今回は,前回扱った直角三角形の合同条件のうち,

斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

を別の角度から眺めてみましょう.
具体的に書くと,
△ABCと△DEFで
∠C=∠F=90°
AB=DE
AC=DF




が成り立つとき,2つの直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれひとしいから
△ABC≡△DEF
が成り立ちます.
ここでは,上の合同条件で∠C=∠Fが90°でないときどうなるかを考えます. 斜辺ABは∠Cの対辺ですから,ここでの条件は 2辺とそのいずれかの辺の対角がそれぞれ等しい・・・@
となります.

さて具体的に考えましょう.調べたいことは
△ABCと△DEFで
∠C=∠F
AB=DE
BC=EF
が成り立つときの△ABCと△DEFの関係です.



辺EFを定め,Fを通り∠Cと同じ角をなす半直線を引き,Eを中心とする半径ABの円を 書き,半直線との交点が残りの頂点Dです.図の場合は点Dが2つ存在します. 常に2つ存在するかというとそうではありません.



図から分かるように,ABの長さによって変わります, すなわち,Bから半直線CAに引いた垂線をBH(垂線を引いたときの直線との交点を垂線の足と いいます.この場合, 頂点Bから半直線CAに引いた垂線の足をHとするといいます)とします.三角比の知識があれば
BH=BCsinC
です.
BA<BHのとき,△ABCは存在しないので,ここでは考える必要はありません.r
BA=BHのとき,△ABCは直角三角形で唯一つ存在します.
BH<BA<BCのとき△ABCは2つ存在します. BC≦BAのとき△ABCは唯一つ存在します.

今までの内容を整理しましょう. △ABCと△DEFで
∠C=∠F
AB=DE
BC=EF
のとき,与えられた∠Cの対辺の長さABによって三角形の個数が決まります. どのように決まるかというと, ABがBH<AB<BCのとき三角形は2つあり,BHまたはBCに等しいかまたはBCより長ければ 唯一つに決まることが 分かりました.したがって新しい合同条件を次のように表すことができます, △ABCと△DEFで
∠C=∠F
AB=DE
BC=EF
AB≧BC
のとき△ABC≡△DEFである.
ちなみに,直角三角形の斜辺は一番長いから, この条件に当てはまります.

ただ実際はこの合同条件を使う場合はほとんどないでしょう.

ここで面白いのは,AB<BCで三角形が2つある場合の2つの三角形の関係です. それを考えましょう.



△ABCと△DEFで
∠C=∠F
AB=DE
BC=EF
のとき,辺BCの対角について考えましょう. △BAA’が2等辺三角形ですから△ABCと△A’BCの∠Aと∠A’について ∠A+∠A’=180° が成り立ちます.2つの角の和が180°になるとき補角をなすといいます.すなわち,∠Aと∠A’は 補角をなしています.



以上まとめると次のようになります. △ABCと△DEFで
∠C=∠F
AB=DE
BC=EF
のとき,∠C=∠Fの対辺AB=DEの長さと与えれたBC=DFの長さとの関係で△DEFが 1つに決まったり2つあったりする.さらに2つあるとき,言い方を変えればAB<BCのとき, 2つの三角形のBC=EFの対角は補角をなします.

最後に1つ例題を解きましょう.
例題 △ABCで∠A,∠Cの2等分線の交点をI,AI,CIの延長と辺BC,ABとの交点を それぞれD,Eとします.ここでDI=EIが成り立つとき△ABCはどのよう な三角形であるか調べましょう.



Iは△ABCの内心ですから ∠EBI=∠DBIが成り立ちます, △BIEと△BIDにおいて
∠B=∠B
BI=BI
IE=ID
ですから,△BIE≡△BIDまたは∠E+∠D=180°が成り立ちます.
△ACEに注目し
∠BEC=∠A+∠C/2
同様に
∠BDA=∠A/2+∠C
であるから,
∠E=∠Dのとき∠A=∠Cの2等辺三角形.
∠E+∠D=180°のとき∠A+∠C=120°.したがって,△ABCは∠B=60° の三角形となりました.
逆も確認しましょう.すなわち,△ABCが∠A=∠Cの2等辺三角形のときも,∠B=60°の ときも,DI=EIが成り立つことも示しましょう.
まず,∠A=∠CすなわちBA=BCのとき. △AEC≡△CDA,△ICAがAI=CIの2等辺三角形よりID=IEが成り立ちます.



つぎに,∠B=60°のとき.
Iから辺BC,ABに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとすると,Iが内心より IH=IK
△IHDと△IKEにおいて
IH=IK・・@
∠H=∠K・・A
また,∠B=60°のとき
∠BEC+∠BDA
=∠A+∠C/2+∠C+∠A/2
=3(∠A+∠C)/2=180°



よって
∠AEC=∠ADB・・B
ABより
∠DIH=∠KIE
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△IHD≡△IKE
よってIH=IK.

三角形の相似

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