回転変換の応用

ここでは,回転の応用として,三角形のフェルマ点を扱います.
まず,フェルマ点の定義をし,その性質をのべ,その後フェルマ点の周辺の話題を扱います.

定義(三角形のフェルマ点) △ABCはどの内角も120°より小さいとする.
このとき,次の条件を満たす点Pを△ABCのフェルマ点という.
∠BPC=∠CPA=∠APB=120°



フェルマ点の存在,作り方,および120°の意味等は後回しにし,回転変換の威力を 知ってもらうために,フェルマ点の性質からは始めます.

定理
△ABCはどの内角も120°より小さいとする.このとき,平面上の点Qで QA+QB+QCを最小にする点Qは△ABCのフェルマ点である.


この問題は,3つの都市A,B,Cがあるとき,この3都市を通る最短の道路網はどのように作れば 良いか
という問題と言い換えてもかまいませんし 3つの機械A,B,Cの最短の配線を考えるときにも用いられます. そこで,この問題を最短ネットワーク問題または 最短道路網問題といいます.





証明をしましょう.回転移動をするととても簡単に解決します.
上の図で△AB’Rは△ABQをAの周りに−60°回転させたものです.このとき △ARQは正三角形ですから
AQ=RQ
が成り立ちます.したがって
AQ+BQ+CQ=RQ+B’R+QC≧B’C
一方Qが△ABCのフェルマ点のとき ∠ARB’=∠AQB=120°. ∠ARQ=60° より,3点B’,R,Qは1直線上にあり, 同様に ∠AQC=120°. ∠AQR=60° より,3点R,Q,Cは1直線上にある. したがって,Qがフェルマ点のとき, 4点B’,R,Q,Cは一直線上にあり,AQ+BQ+CQ=B’C が成り立つ. 以上で,証明が終了しました.証明の中で,AQ+BQ+CQの最小値は B’Cの長さであることも分かりました.また,AQ+BQ+CQの最小値 は△ABCの固有の値で,どの頂点(上の証明は頂点Aの周りに回転しましたが, B,Cでも同じ結果がでるということ)で考えても同じです.

それではフェルマ点について系統的に 学んでいきましょう.
定理
△ABCの各辺の外側に正三角形DCB,EAC,FBAをつくる.このとき, このとき,AD=BE=CFが成り立つ.




この定理はあとで直接証明します.なお,その証明の中で,AD,BE,CFが1点で交わり, その交点が△ABCのフェルマ点であることも分かるでしょう. 次に△ABCの一つの内角が120°以上のときどうなるかも面白い問題です.その解答は次の 定理です.

定理
△ABCは∠A≧120である三角形である.このとき,平面上の点Qで QA+QB+QCを最小にする点Qは点Aである.




証明はやはり,回転を利用するとすっきりします. 上の図で,△ARC’は△AQCをAの周りに180°−A(≦60°)だけ回転したものです.
このとき,
∠QAR≦60°,AQ=ARよりAQ≧QR
∴BQ+AQ+CQ
≧BQ+QR+RC’
≧BA+AC’=BA+AC
等号が成り立つのはQがAと一致するときです.


フェルマ点の見つけ方,存在に関しては次回に回して, アメリカの競技会に出題された問題を紹介します.

問題
△ABCと正三角形PQRが図のような三角形で,
∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°
である.
このとき,x=u+v+wを証明せよ.
(1974年アメリカ競技会第5問)



高校生が初見でこの問題が解けるとはにわかに信じがたいです.この問題の周辺の内容が話題に なり,それを受けての出題ではないかと予想するのですが. しかし世の中にはすごい高校生がいるので,何とかなるのかもしれません. さて,背景が分かっていれば簡単です.



上の図で,△BDCを点Bの周りに60°回転したものが△BEP,△ACPをPの周りに −60°回転したのが△QBPです.△APQは正三角形で,一辺の長さxはx=u+v+w です.



もう1題紹介します.次の問題はすでに扱いましたが,回転を使う方法もなかなかの優れものです.

問題
正方形ABCDがある.底辺BCの両底角が15°の二等辺三角形PBCが図のように正方形の内部に 描いたとき,△APDは正三角形であることを証明せよ.





.   証明
Cの周りに30°回転する回転移動をS,Bの周りに30°回転する回転移動をTとすると
T:D→Q,S:Q→A
より ST:D→A
一方STは Pに関する60°の回転移動
となります. したがって,△PDAは正三角形です.


フェルマ点

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