回転変換の応用ここでは,回転の応用として,三角形のフェルマ点を扱います.まず,フェルマ点の定義をし,その性質をのべ,その後フェルマ点の周辺の話題を扱います. 定義(三角形のフェルマ点) △ABCはどの内角も120°より小さいとする. このとき,次の条件を満たす点Pを△ABCのフェルマ点という. ∠BPC=∠CPA=∠APB=120° フェルマ点の存在,作り方,および120°の意味等は後回しにし,回転変換の威力を 知ってもらうために,フェルマ点の性質からは始めます. 定理 △ABCはどの内角も120°より小さいとする.このとき,平面上の点Qで QA+QB+QCを最小にする点Qは△ABCのフェルマ点である. この問題は,3つの都市A,B,Cがあるとき,この3都市を通る最短の道路網はどのように作れば 良いか という問題と言い換えてもかまいませんし 3つの機械A,B,Cの最短の配線を考えるときにも用いられます. そこで,この問題を最短ネットワーク問題または 最短道路網問題といいます. 証明をしましょう.回転移動をするととても簡単に解決します. 上の図で△AB’Rは△ABQをAの周りに−60°回転させたものです.このとき △ARQは正三角形ですから AQ=RQ が成り立ちます.したがって AQ+BQ+CQ=RQ+B’R+QC≧B’C 一方Qが△ABCのフェルマ点のとき ∠ARB’=∠AQB=120°. ∠ARQ=60° より,3点B’,R,Qは1直線上にあり, 同様に ∠AQC=120°. ∠AQR=60° より,3点R,Q,Cは1直線上にある. したがって,Qがフェルマ点のとき, 4点B’,R,Q,Cは一直線上にあり,AQ+BQ+CQ=B’C が成り立つ. 以上で,証明が終了しました.証明の中で,AQ+BQ+CQの最小値は B’Cの長さであることも分かりました.また,AQ+BQ+CQの最小値 は△ABCの固有の値で,どの頂点(上の証明は頂点Aの周りに回転しましたが, B,Cでも同じ結果がでるということ)で考えても同じです. それではフェルマ点について系統的に 学んでいきましょう. 定理 △ABCの各辺の外側に正三角形DCB,EAC,FBAをつくる.このとき, このとき,AD=BE=CFが成り立つ. この定理はあとで直接証明します.なお,その証明の中で,AD,BE,CFが1点で交わり, その交点が△ABCのフェルマ点であることも分かるでしょう. 次に△ABCの一つの内角が120°以上のときどうなるかも面白い問題です.その解答は次の 定理です. 定理 △ABCは∠A≧120である三角形である.このとき,平面上の点Qで QA+QB+QCを最小にする点Qは点Aである. 証明はやはり,回転を利用するとすっきりします. 上の図で,△ARC’は△AQCをAの周りに180°−A(≦60°)だけ回転したものです. このとき, ∠QAR≦60°,AQ=ARよりAQ≧QR ∴BQ+AQ+CQ ≧BQ+QR+RC’ ≧BA+AC’=BA+AC 等号が成り立つのはQがAと一致するときです. フェルマ点の見つけ方,存在に関しては次回に回して, アメリカの競技会に出題された問題を紹介します. 問題 △ABCと正三角形PQRが図のような三角形で, ∠ADB=∠BDC=∠CDA=120° である. このとき,x=u+v+wを証明せよ. (1974年アメリカ競技会第5問) 高校生が初見でこの問題が解けるとはにわかに信じがたいです.この問題の周辺の内容が話題に なり,それを受けての出題ではないかと予想するのですが. しかし世の中にはすごい高校生がいるので,何とかなるのかもしれません. さて,背景が分かっていれば簡単です. 上の図で,△BDCを点Bの周りに60°回転したものが△BEP,△ACPをPの周りに −60°回転したのが△QBPです.△APQは正三角形で,一辺の長さxはx=u+v+w です. もう1題紹介します.次の問題はすでに扱いましたが,回転を使う方法もなかなかの優れものです. 問題 正方形ABCDがある.底辺BCの両底角が15°の二等辺三角形PBCが図のように正方形の内部に 描いたとき,△APDは正三角形であることを証明せよ. . 証明 Cの周りに30°回転する回転移動をS,Bの周りに30°回転する回転移動をTとすると T:D→Q,S:Q→A より S○T:D→A 一方S○Tは Pに関する60°の回転移動 となります. したがって,△PDAは正三角形です. フェルマ点 目次 |