回転変換の合成

第2部は平面の変換を,特に回転変換,相似変換,回転相似変換を中心に扱います.
前半は異なる点の周りの回転変換,相似変換,回転相似変換の合成がどうなるかを調べ, 後半では,変換を利用して問題を解いていきます.
解答を見ながら, 変換の重要性が感じ取ってもらえるのではないかと思います.


ここでは,異なる2点を中心とする回転変換の合成から始めます.
なお.以後SとTの合成変換をT○Sで表します.
Oを中心とするα°の回転変換をS(O,α°)と書きます.
O’,O”を異なる2点とするとき
S’=S(O’,α°),
S”=S(O”,β°)
の合成変換S”○S’を求めることが目標です.
当然α°+β°の回転になります. 問題は回転の中心を求めることです.

点Oの周りの回転角2α°の回転を,Oを通る2直線m,nに関する対称変換の合成と考える ことが基本になります.
ただし,直線mから直線nに向かって図った角がα°です.
Pを直線mに関して対称変換した点がP’,さらにP’を直線nに関して対称変換した 点がP”とすると,2直線m,nのなす角をα°とすると,点Pを点Oの周りに2α°回転した点 がP”です.



上の図は分かりやすいですが,Pがどこにあっても成り立ちます.
それを下の図より 読み取ってください.



上の内容をまとめると次のようになります.

命題
点Oの周りの回転角2α°の回転変換は,直線mから直線nに計った角がα°のOを通る2直線 m,nを用いて,mに関する対称変換とnに関する対称変換の合成と表すことができる.


この命題が分かれば,あとは簡単です.




S’=S(O’,α°),
S”=S(O”,β°)
の合成S”○S’を考えましょう.
これは,直線mを直線O’O”とし,
mとなす角が−α°/2である直線をl,
mとなす角がβ°/2である直線をnとすれば 直線l,m,m,nと順に対称変換をしたものです.
同じ直線に関する対称変換の合成は恒等変換ですから, 変換S”○S’はlに関する対称変換とnに関する対称変換の合成 であることが分かりました.
2直線l,nのなす角は(α°+β°)/2 ですので,l,nの交点をOとすると変換S”○S’はOを中心とする,回転角α°+β° の回転変換であることが分かりました.
結果をまとめておきましょう.

定理
2つの回転変換
S’=S(O’,α°),
S”=S(O”,β°)
の合成S”○S’は,点O’を通り直線O’O”となす角が−α°/2の直線をl, 点O”を通り直線O’O”となす角がβ°/2をnとすれば, 2直線l,nの交点を中心とする,回転角α°+β°の回転変換である.






最後にβ°=−α°の場合を考えましょう.
これはα°+β°=360°×nのときとしてよく使われます.
定理の中で,2直線l,nは平行になります.




平行な2直線に関する対称変換の合成は,直線に垂直な方向への,2直線間の距離の2倍だけの平行移動 です.
一方上の図形では, 平行な2直線l,n間の距離hは
h=O’O”sin(α°/2)
ですから,直線lに垂直なlからnに向かう方向に2hだけの平行移動になります.まとめると次の定理に なります.

定理
2つの回転変換
S’=S(O’,α°),
S”=S(O”,−α°)
の合成変換S”○S’は,点O’を通り直線O’O”となす角が−α°/2の直線をl, 点O’を通りlに平行な直線をnとすれば,直線lに垂直な lからnに向かう方向に,l,n間の距離(O’O”sin(α°/2)) の2倍だけ平行移動する平行変換である.


以上,異なる2点の周りの回転変換の合成に関して述べてきましたが,回転変換を図形の問題に 応用するとき特に用いるのが次の事実です.
あたりまえのことですが,証明しておきましょう.

命題
回転変換S(O,α°)によって直線mが直線nに写るとき,2直線m,nのなす角はα° またはその補角である.


証明
直線mが回転の中心Oを通るときは明らか.



直線mがOを通らないとき.
Oからmに下ろした垂線の足をHとする.
S(O,α°)によってHのうつる点をKとすれば, OK⊥mである.
2直線のなす角は交角のうち小さいほうで計るから, m,nのなす角はα°またはその補角である.


相似変換の合成

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