回転変換の合成

ここでは，異なる2点を中心とする回転変換の合成を扱います．
以後，変換$S$と変換$T$の合成変換を$T\circ S$で表します．
$O$を中心とする$\alpha ^{\circ}$の回転変換を$S(O,\alpha ^{\circ})$と表すのは今まで通りです．
まず，$O',O"$を異なる2点とするとき
$S'=S(O',\alpha ^\circ)，$
$S"=S(O",\beta ^\circ)$
の合成変換$S"\circ S'$を求めます．
当然$\alpha ^{\circ}+\beta ^{\circ}$の回転になります． 問題は回転の中心を求めることです．


点$O$の周りの回転角$2\alpha ^{\circ}$の回転を，$O$を通る２直線$m,n$(ただし，$m$から$n$に向かってはかった角が$\alpha ^{\circ}$)に関する対称変換の合成と考える ことを用います．
$P$を直線$m$に関して対称変換した点が$P'$，さらに$P'$を直線$n$ に関して対称変換した 点を$P"$とする.２直線$m,n$のなす角を$\alpha ^{\circ}$とすると， 点$P$を点$O$の周りに$2\alpha ^{\circ}$回転した点 が$P"$です．
右上の図は分かりやすいですが，$P$がどこにあっても成り立ちます．
それを右図より 読み取ってください．

行列を用いると
$\begin{pmatrix}\cos 2\beta &\sin 2\beta\\ \sin 2\beta &-\cos 2\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha\\ \sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}\cos 2(\beta -\alpha)&-\sin 2(\beta -\alpha )\\ \sin 2(\beta -\alpha)&\cos 2(\beta -\alpha) \end{pmatrix} $
となるので$P$の位置に関係なく成り立つことが容易にわかります．すなわち，２直線のなす角$\beta -\alpha $で決まります． 解析幾何はこのように議論がすっきりするメリットがあるのですが， これから進める議論を見るとわかりますが，具体的な性質を調べるときは初等幾何的取り扱いが必要になってきます．

とりあえずこれまでの内容をまとめておきましょう．

補助命題
点$O$の周りの回転角$2\alpha ^{\circ}$の回転変換は，直線$m$から直線$n$に計った角が$\alpha ^{\circ}$の$O$を通る２直線 $m,n$を用いて，$m$に関する対称変換と$n$に関する対称変換の合成と表すことができる．

この命題が分かれば，あとは簡単です．




$S'=S(O',\alpha ^{\circ}),S"=S(O",\beta ^{\circ})$
の合成$S"\circ S'$を考えましょう．ただし,$O',O"$は異なる点とする．
直線$m$を直線$O'O"$とし，
$O'$を通り$m$となす角が$-\frac{\alpha ^{\circ}}{2}$である 直線を$l$,$O"$を通り$m$となす角が$\frac{\beta ^{\circ}}{2}$である 直線を$n$とすれば,$S"\circ S'$は 直線$l,m,m,n$に関して順に対称変換をしたものです．
同じ直線に関する対称変換の合成は恒等変換ですから， 変換$S"\circ S'$は$l$に関する対称変換と$n$に関する対称変換の合成 であることが分かりました．
２直線$l,n$のなす角は$\frac{\alpha ^{\circ}+\beta ^{\circ}}{2}$ なので，$l,n$の交点を$O$とすると，変換$S"\circ S'$は$O$を中心とする， 回転角$\alpha ^{\circ}+\beta ^{\circ}$ の回転変換であることが分かりました．
結果をまとめておきましょう．

定理
２つの回転変換
$S'=S(O',\alpha ^{\circ}),S"=S(O",\beta ^{\circ})$
の合成$S"\circ S'$は，点$O'$を通り直線$O'O"$となす角が$-\frac{\alpha ^{\circ}}{2}$の直線を$l$， 点$O"$を通り直線$O'O"$となす角が$\frac{\beta ^{\circ}}{2}$の直線を$n$とすれば， 2直線$l,n$の交点を中心とする，回転角$\alpha ^{\circ}+\beta ^{\circ}$ の回転変換である．

これで解決したわけではありません．２直線$l,n$が交わらないとき すなわち$l$と$n$が平行な時を考えます．これは$\beta ^{\circ}=-\alpha ^{\circ}$のときです．
回転角の取り方によりますが$\alpha ^{\circ}+\beta ^{\circ}=360^{\circ}\times n$としてもかまいません．
定理の中で，2直線$l,n$は平行になります．




平行な２直線に関する対称変換の合成は，直線に垂直な方向への， ２直線間の距離の２倍だけの平行移動 です．
一方上の図形では， 平行な2直線$l,n$間の距離$h$は
$h=O'O"\sin \dfrac{\alpha ^{\circ}}{2}$
ですから，直線$l$に垂直な$l$から$n$に向かう方向に$2h$だけの平行移動になります．まとめると次の定理に なります．

定理
２つの回転変換
$S'=S(O',-\alpha ^{\circ}),S"=S(O",\alpha ^{\circ})$
の合成変換$S"\circ S'$は，点$O'$を通り直線$O'O"$となす角が$\frac{\alpha ^{\circ}}{2}$の直線を$l$， 点$O"$を通り$l$に平行な直線を$n$とすれば，直線$l$に垂直な $l$から$n$に向かう方向に，$l,n$間の距離$OO"\sin \frac{\alpha ^{\circ}}{2}$ の2倍だけ平行移動する平行変換である．

続く

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