フェルマ点

ここでは,三角形のフェルマ点について扱います.
まず,フェルマ点の定義を確認しましょう.

定義(三角形のフェルマ点)
△ABCはどの内角も120°より小さいとする.
このとき,次の条件を満たす点Pを△ABCのフェルマ点という.
∠BPC
=∠CPA
=∠APB
=120°




△ABCのフェルマ点を見つけましょう.




∠APC=120°ですから,点Pから線分ACを望む角が120°.すなわち, 図のように正三角形ACEを直線ACに関してBと反対側にとれば,点Pは 正三角形ACEの外接円の周上の直線ACに関してEと反対側にあります.
同様に,点Pは図の正三角形AFBの外接円の周上のABに関してFと反対側に あります.
したがって,したがって,2つの外接円の交点が三角形ABCのフェルマ点です.




さらに,点Pは∠BPC=120°ですから, 正三角形BCDの外接円上にもあります.
以上から,次のようの言うこともできます.

定義
△ABCはどの内角も120°より小さいとする.
△ABCの各辺の外側に正三角形DCB,EAC,FBAをつくる.
このとき,3つの正三角形の 外接円は1点で交わりその点を△ABCのフェルマ点という.


もう少し続けましょう.


上の図で,
∠APE
=∠ACE
=60°
と同じことを行い. ∠EPA
=∠EPC
=∠DPC
=∠DPB
=∠FPB
=∠FPA
=60°
を得ます.
したがって,3点A,P,D;B,P,E;C,P,F が一直線上にある.
すなわち3直線AD,BE,CFは1点で交わり, その交点がフェルマ点であるということもでき,それをまとめると次のようになります.

定義
△ABCはどの内角も120°より小さいとする.
△ABCの各辺の外側に正三角形DCB,EAC,FBAをつくる.
このとき, 3直線AD,BE,CFは1点で交わり, その交点がフェルマ点である.




次に△DCB,△EAC,△FBAが正三角形である図形でAD,BE,CF の長さの関係を調べよう.
これは簡単で,△BCFをBの周りに−60°回転した三角形が△BDAで, △AFCをAの周りに60°回転した三角形が△ABEです.
したがって,
AD=BE=CF
が成り立ちます.

最後に△ABCの1内角が120°またはそれより大きい場合を調べましょう.




上図は∠A=120°のときです.
△ACE,△ABFの外接円の中心をそれぞれO,O’ とすると,
∠OAC
=∠O’AB
=30°
より,3点O,A,O’は一直線上.
したがって,2円O,O’ は点Aで外接します.
さらに∠BAC=120°より,
点Aは△DBCの外接円上にもあります.
このことは,△ABCで∠Aが120°に近づけば,フェルマ点Pは点Aに近づく ことを表します.




上図は∠A>120°のときです.
円O,O’の交点のうちAでないほうをPとすれば 2点A.Pは直線OO’に関して対称ですから Pは△ABCの外にあります.
また,
∠APB
=∠APC
=120°
は成り立ちません.
成り立つのは
∠APB
=∠APC
=60° です.
この場合でも∠BPC=120°ですから 点Pは円O”上にあります.


以上で三角形のフェルマ点が分かってもらえたと思います.


続く

回転相似変換の応用

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