平面の変換

回転変換

前のページでは，回転変換，対称変換の解析幾何的な取り扱いを行いました．
現在，中学，高校の教育課程では，解析幾何的な取り扱いが中心です．
ここでは，できるだけ初等幾何的な取り扱いをします．なお，系統だった議論は平面の幾何学変換をご覧ください．

点の周りの回転変換から始めます．
回転変換を定義しましょう．

定義
平面上の点を平面上にうつす変換で点$O$を同じ点にうつし，$O$以外の点$P$の像$P'$が次の２条件
$(1) \ OP'=OP$
$(2) \ \angle P'OP=\alpha ^{\circ}$
を満たすとき，この変換を$O$を中心とする$\alpha ^{\circ}$の回転変換といい$S(O,\alpha ^{\circ})$と表す．

注意
$A$から$B$への写像
$f:A\longrightarrow B$
が，$A=B$で1対1かつ上への写像のときこの写像を変換と呼ぶことが多く，ここではそれに従っている．

いくつかの基本事項を証明する．
当たり前のことであるが

命題1
回転変換$S(O,\alpha ^{\circ})$で２点間の距離はかえない．
すなわち，２点$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とすると
$A'B'=AB$
が成り立つ．
証明
$OA=OA',OB=OB'$
さらに
$\angle AOA'=\alpha ^{\circ}=\angle BOB'$
より
$\angle AOB=\angle A'OB'$
が成り立つので，
$\triangle OAB\equiv \triangle OA'B'$
したがって，$AB=A'B'$が成り立つ．
もし，２点$O,A,B$が一直線上のとき，
$AB=OA+OB$等事情に応じて成り立つことを示せばよい．

証明に用いた上図で
2直線$AB,A'B'$の交点を$C$とする．
$\angle OAB=\angle OA'B'$
であるから４点$O,A,C,A'$は同一円周上のある．
したがって，
$\angle A'OA=\angle A'CB$
$\angle A'CB$は2つのベクトル$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}$ のなす角であるから次の命題が成り立つことが分かる．

命題2
回転変換$S(O,\alpha ^{\circ})$による$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とすると 2つのベクトル$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}$ のなす角は$\alpha ^{\circ}$である．

次の命題は命題１の逆にあたる．

命題3
2点$A,B$および２点$C,D$が与えらえたとき，
$AB=CD$でありかつ$AB,CD$が平行でないとき
$A\mapsto C,B\mapsto D$
を満たす回転変換がただ一つ存在する．
証明
$AC,BD$が平行な時と平行でないときに分けて示す．
$\bullet \ AC,BD$が平行でないとき．
2つの線分$AC,BD$の垂直２等分線の交点を$O$とする．
$A\mapsto C,B\mapsto D$をみたす回転変換の中心は$O$以外なく一意性は示されるので存在だけを示せばよい．
$OA=OC,OB=OD,AB=CD$
より
$\triangle OAB=\triangle OCD$
したがって，
$\angle AOC=\angle BOD$
$\angle AOC=\alpha ^{\circ}$
とおくと
$S(O,\alpha ^{\circ}):A\mapsto C,B\mapsto D$

$\bullet \ AC,BD$が平行なとき．
$AB=CD$であるから，四角形$ABDC$が平行四辺形のときと等脚台形のとき考えればよいが， $AB,CD$が平行でないから，等脚台形のときだけ考えればよい．
このとき，$AB,CD$の交点を$O$,$\angle AOC=\alpha ^{\circ}$とすれば
$S(O,\alpha ^{\circ}):A\mapsto C,B\mapsto D$
となる．

命題の仮定に$AB,CD$が平行でないとあるが，$AB,CD$が平行のときを考えよう．
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$のときと $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$のときがある．
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$のときは，回転変換では重ねることはできないが，平行変換で２つの線分を重ねることができる．
$\overrightarrow{AC}$で決まる平行変換（平行移動ということもある）を$T(\overrightarrow{AC})$とすると
$T(\overrightarrow{AC}):A\mapsto C,B\mapsto D$
が成り立つ．
$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$のときは，$AC$と$BC$ が平行でないから，すでに証明したように
$A\mapsto C,B\mapsto D$
となる回転変換が存在する．

以上をまとめると命題3を次のようにまとめることができる．

命題4
2点$A,B$および２点$C,D$が与えらえたとき，
$AB=CD$ならば
$A\mapsto C,B\mapsto D$
を満たす回転変換または平行変換がただ一つ存在する．

線分$AB$を線分$CD$にうつすのは
$A\mapsto C,B\mapsto D$
及び
$A\mapsto D,B\mapsto C$
があるから，線分$AB$を線分$CD$にうつすのは回転変換または平行変換は２つ存在することが分かる．
右図は命題３の右の図形の
$A\mapsto D,B\mapsto C$
の場合である．$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$のなす角が回転角である．

回転変換の例題

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