回転相似変換同じ点を中心とする，回転変換と相似変換の合成をここでは回転相似変換という．まず定義をきちんとしましょう． 
定義$O$を平面上の定点，$k > 0$,$\theta$を回転角とする． 平面上の任意の点$P$に対して，半直線$OP$を$O$の周りに$\theta$だけ回転して半直線上に 点$P'$を $OP'=kOP$ を満たすように取る． このとき,対応 $P\mapsto P'$ を$O$を中心とする回転角$\theta$，相似比$k$の回転相似変換または螺旋相似変換といい，$U(O,\theta,k)$と表す． 回転相似変換は，中心相似変換，回転変換を含んでいることに注意する． $U(O,\theta,1)=S(O,\theta),U(O,0,k)=H(O,k),$ $k > 0$であり，$H(O,-k)=U(O,\pi,k)$である． 定義から， $U(O,\theta ,k)=S(O,\theta)\circ H(O,k)=H(O,k)\circ S(O,\theta)$ である． ここで，２点$A,B$および$A',B'$が与えられたとき $A\mapsto A',B\mapsto B'$ を満たす相似変換は２通り存在し，片方が正の相似変換，もう一方が負の相似変換である を思い出そう．言い方を変えれば ２点$A,B$および$A',B'$が与えられたとき $A\mapsto A',B\mapsto B'$ を満たす正の相似変換はただ一つ存在する． となる． すなわち $A\mapsto A',B\mapsto B'$ をみたす回転相似変換が存在すれば，それが正の相似変換である． 正の相似変換に関しては次の性質が重要である． 命題 正の相似変換は恒等変換，平行移動変換，回転相似変換のいずれかである． 証明 正の相似変換は,２点の像で決まる．いくつかの場合に分けて証明する． 以下 $A\mapsto A',B\mapsto B'$ とする． $\bullet 1 \ \ A=A',B=B'$のとき. このときは恒等変換である． 
つぎに$AB \parallel A'B'$のときを調べる．$\bullet 2 \ \ \overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}$のとき． このとき $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$ であるから，$\overrightarrow{AA'}$で決まる平行移動変換である． 
$\bullet 3 \ \ \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB} \ (k\neq 1)$のとき．$AA',BB'$は平行でないから，2直線$AA',BB'$の交点を$O$とする． $OA:OA'=OB:OB'=1:k$ であるから $k > 0$のとき，$U(O,0,k):A\mapsto A',B\mapsto B'$ $k < 0$のとき，$U(O,\pi,|k|):A\mapsto A',B\mapsto B'$ 残りは2直線$AB,A'B'$が平行でない場合である． $A=A'$のときは $\angle B'AB=\theta,\dfrac{AB'}{AB}=k$ とおけば $U(A,\theta ,k):A\mapsto A',B\mapsto B'$ である．$B=B'$同様であるから，$A\neq A',B\neq B'$のとき調べればよい． 2直線$AB,A'B'$の交点を$C$とする. ３点$A,A',C$を通る円を$\circledcirc O_1$,３点$B,B',C$を通る円を $\circledcirc O_2$とする．  $\bullet 4 \ \ $２円$\circledcirc O_1,\circledcirc O_2$が点$C$で接するとき． 点$C$における２円の共通接線をひく．接弦定理より $\angle CAA'=\angle CBB'$ $\therefore AA'\parallel BB'$ したがって $CA:CA'=CB:CB'$ $\angle A'CA=\theta,\dfrac{CA'}{CA}=k$ とおけば $U(C,\theta ,k):A\mapsto A',B\mapsto B'$ 
$\bullet 5 \ \ $２円$\circledcirc O_1,\circledcirc O_2$が2点で交わるとき．2円の点$C$でない方の交点を$O$とする． 右図で $\angle OAC=\angle OA'C,$ $\angle OBC=\angle OB'C$ より $\triangle OAB \backsim \triangle OA'B'$ したがって $OA:OA'=OB:OB'$ $=AB:A'B'$ $\angle AOA'=\theta ,\dfrac{OA'}{OA}=k$ とおけば $U(O,\theta ,k):A\mapsto A',B\mapsto B'$ である． これで命題の証明が終了した． 5つの場合に分けて証明したが，重要なのは最後の場合である． 証明から分かるように，回転相似変換の中心も簡単に求めることができる． これが初等幾何の魅力で，解析幾何では回転相似変換が存在することはできても， その変換を具体的に求めるのは簡単でない． なお，回転相似変換の中心は次のように理解するとよいと思う． 回転相似変換で $A\mapsto A',B\mapsto B'$ のとき，回転相似変換の中心を$O$とすると $\triangle OAB\backsim \triangle OA'B'$ である．$AB,A'B'$の交点を$C$とすると 4点$A,A',C,O(\because \text{上図で}a=a)$および$B,B',C,O(\because \text{上図で}b=b)$は同一円周上にある． したがって，３点$C,A,A'$を通る円と３点$C,B,B'$を通る円の$C$でない方の交点が回転相似変換の中心である． 下の図で，もう少し付け加えると $\angle AOB=\theta, \dfrac{OB}{OA}=k$ とおくと $U(O,\theta ,k):\triangle OAA'\mapsto \triangle OBB'$ したがって，$\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BB'}$ のなす角は$\theta (=\angle AOB)$と一致する． この性質は次頁の例題3で用いられる．  回転相似変換の例題は次頁で扱いますが，ここでは次の例題を考えましょう これは，アポロニウスの円のところで扱った問題です． 例題 ある街の地図をその街の地面上に置いたとき，地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず １点存在し，ただ1点に限る． 街は無限に大きいわけではないので（街の外側も考える必要があるので） ここでは少し問題を変え， 例題 長方形の形の街の地図をその街の地面上に置いたとき， 地図上の点と実際の点が重なるような点が必ず １点存在し，ただ1点に限る． とする． 解答 街を長方形$ABCD$とし，街の地図を$A'B'C'D'$とし縮尺を$\frac{1}{k} \ (k > 1)$する．このとき 長方形$ABCD \mapsto$長方形$A'B'C'D'$ となる回転相似変換または中心相似変換が存在する． はすでに証明されている． その中心は地図$A'B'C'D'$の内部にあることを示すだけである． 中心$O$が，もし街$ABCD$の外部とする． 街の周のうち，$O$に一番近い点を$P$とし，$P$に対応する地図上の点を$P'$とする． このとき $OP'=\dfrac{OP}{k}$ となり，これは$P'$が街の内部より矛盾． 次に，中心$O$が街の内部であるが地図の周上または外側とすると，$O$が不動点でないので矛盾． したがって，変換の中心$O$は地図の内部にある．この点が変換の不動点， すなわち地図上の点と実際の点が重なる点である． 
変換の中心を求めるのは次のようにすればよい．$AB,A'B'$の交点を$E$とする． ３点$E,A,A'$を通る円と３点$E,B,B'$ を通る円の交点のうち$E$でない方を$O$とする． $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{A'B'}$のなす角を$\theta$ とすると $U(O,\theta ,\dfrac{1}{k})$は長方形$ABCD$を長方形$A'B'C'D'$ にうつし，点$O$が不動点である． 回転相似変換の例題 目次 |