4.転換法 高校生が数学の教科書を読むとき，きちんと理解するには難しいと思われる場所が いくつかあるます．そのうちの１つに転換法があります． ここでは，その内容を解説します． 数学Tの最初で２次方程式を学びます． $a,b,c$を実数とするとき，２次方程式 $ax^2+bx+c=0$・・・@ の解は $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ですから次のことが分かります． $D=b^2-4ac$とおけば $D>0 \Longrightarrow $@は２つの実数の解をもつ $D=0 \Longrightarrow $@は１つの実数の解（重解）をもつ $D>0 \Longrightarrow $@は実数解を持たない したがって， $D>0 \Longleftrightarrow $@は２つの実数の解をもつ $D=0 \Longleftrightarrow $@は１つの実数の解（重解）をもつ $D>0 \Longleftrightarrow $@は実数解を持たない が成り立つ． と標準的な教科書では書いてあります．どう思います．この推論には無理があると感じるのは自然のことです． 逆を証明する必要があり，逆が自明ではなく，例えば @は２つの実数の解をもつ$\Longrightarrow D>0$ を証明するとなると，２次関数の性質を用いて， $y=ax^2+bx+c=a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \ (a>0)$・・・A より，２次関数が$x$軸と２点で交わるとき，Aの最小値は負であるから $D=b^2-4ac>0$ である． とするのであろうが，２次方程式を学んだ時点でこの説明は無理があります． 言い方を換えれば次のような例題は無理があるわけです． 問題 ２次方程式 $x^2-2x+a=0$ が異なる２つの解を持つよう$a$の値を定めよ． そこで，説明を省略して，同値な命題に換えているのです． 後で標題の転換法を説明しますが，それを用いれば簡単にそれぞれの式が同値であることが証明されます． なおこれは高校１年生の標準的な数学に対する成熟度を考えた上で，逆を証明しないでも 理解できるだろう，逆を説明するとかえって混乱するだろうという配慮の もとで行っているこいで十分検討されたうえのことです．． 逆が明らかでないのに，それを認めている例をもう少し挙げましょう．  例２ ２次関数 $y=ax^2+bx+c$ について， $D=b^2-4ac$ とおく． このとき，次のことが成り立ちます． $a>0,D>0 \Rightarrow $右上の図@ $a>0,D=0 \Rightarrow $右上の図A 
$a>0.D<0 \Rightarrow $右上の図B$a<0,D>0 \Rightarrow $右下の図C $a<0.D=0 \Rightarrow $右下の図D $a<0,D<0 \Rightarrow $右下の図E この図から次の定理が成り立つ． 定理 ２次関数 $y=ax^2+bx+c$ について， $D=b^2-4ac$ とおく． このとき次のことがらが成り立つ． $y$の値が常に正 $\Longleftrightarrow$ $ \ \ a>0$ かつ $D<0$ $y$の値が常に負 $\Longleftrightarrow$ $ \ \ a<0$ かつ $D<0$ この定理も後で述べる転換法の考えで説明するのですが，高校１年で学ぶもっとも難しいところの１つです． 初等幾何の内容では証明が命ですから，どの教科書でも，転換法による 逆の証明がきちんとなされています． 例３ $\triangle ABC$において $AC>AB \Longrightarrow \angle B>\angle C$・・・@ $AC=AB \Longrightarrow \angle B=\angle C$・・・A $AC$＜$AB \Longrightarrow \angle B$＜$\angle C$・・・B 
@の証明は次のように行います．$AC$上に点Ｄを$AB=AD$を満たすようにとる．このとき $\angle C<\angle ADB =\angle ABD <\angle ABC$ 逆は転換法で証明するのが一般的です． なお，@，A，Bがそれぞれ同値である関係式であることは，三角関数を用いると簡単に証明できる．実際 $AC-AB=2R(\sin B-\sin C)=4R\cos \frac{B+C}{2}\sin \frac{B-C}{2}$ より成り立つことが分かる．
図形的に逆を証明しようとすると，例えば@の逆すなわち $\angle B>\angle C \Longrightarrow AC>AB$ は∠Ａが頂角である二等辺三角形を作って証明する． 証明 $\dfrac{\angle B+\angle C}{2}<\angle B$ より$\angle B$内に半直線$BD$を引き $\angle ABD =\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$ とする． このとき$\triangle ABD$は二等辺三角形 であるから $AB=AD$＜$AC$ 円周角と弧を見込む角に関する次の例はとても重要である． 
例４円の周上にＡ，Ｂ，Ｃがあり，点Ｐが直線ＡＢに関して点Ｃと同じ側にある．このとき次が成り立つ． 点Ｐが円の周上にある $\Longrightarrow \angle P=\angle C$・・・@ 点Ｐが円の外部にある $\Longrightarrow \angle P<\angle C$・・・A 点Ｐが円の内部にある $\Longrightarrow \angle P>\angle C$・・・B 逆は転換法で示すことになる． つぎは，行列の固有値，固有ベクトルの説明をするときに必要となる性質です． 例５ 連立方程式 $\begin{cases} ax+by=0\\ cx+dy=0 \end{cases}$ すなわち $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ この連立方程式は $x=0,y=0$ を必ず解に持つことを考慮すれば，次の関係が成り立つ． 上の連立方程式は $ad-bc=0 \Longrightarrow$ $x=0,y=0$だけが解である． $ad-bc \neq 0 \Longrightarrow$ $x=0,y=0$以外にも解を持つ． 転換法を用いて同値な次の命題に書き換えることができます． 定理 連立１次方程式 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ において次が成り立つ． $ad-bc=0 \Longleftrightarrow$ $x=0,y=0$だけが解である． $ad-bc \neq 0 \Longleftrightarrow$ $x=0,y=0$以外にも解を持つ． このように高校で学ぶ内容をざっと見渡しただけでも，これだけの転換法を理解するとすっきるする内容がある． 転換法の証明方法を具体的に例１で説明します． 例１ $a,b,c$を実数とするとき，２次方程式 $ax^2+bx+c=0$・・・@ の解について次が成り立つ． $D=b^2-4ac$とおけば $D>0 \Longrightarrow $@は２つの実数の解をもつ・・・A $D=0 \Longrightarrow $@は１つの実数の解（重解）をもつ・・・B $D>0 \Longrightarrow $@は実数解を持たない・・・C 転換法による逆の証明は次のように行います． Aの逆について @が２つの実数解を持つとき $D>0,D=0,D<0$・・・D のいずれかが成り立つ． もし$D=0$とするとすでに証明したことより重解を持つことより矛盾． もし$D<0$とするとすでに証明したことよりことより実数解を持たないので矛盾． したがって$D>0$が成り立つ． このような証明法が転換法による証明法です． それでは転換法の原理をきちんと書きましょう． 定理 いくつかの命題 $p_1\Longrightarrow q_1$ $p_2\Longrightarrow q_2$ $\cdots$ $p_n\Longrightarrow q_n$ が真で，次の２条件をみたすとする． （１）仮定$p_1,p_2,\cdots,p_n$はすべての場合をつくしている． （２）結論$q_1,q_2,\cdots,q_n$はどの２つも両方満たす要素はない． このとき，これらの逆の命題 $q_1\Longrightarrow p_1$ $q_2\Longrightarrow p_2$ $\cdots$ $q_n\Longrightarrow p_n$ はすべて真である．すなわち $p_1\Longleftrightarrow q_1$ $p_2\Longleftrightarrow q_2$ $\cdots$ $p_n\Longleftrightarrow q_n$ と結論付けることができる． 条件の（１）は$p_1,p_2,\cdots,p_n$はすべてをつくしているから少なくともどれか一つは成り立つという意味で必要です． （２）は対応しているもの以外は別の条件になり矛盾するという証明で使います． この転換法を理解した上で，上で挙げた例を見直して見ましょう． 逆が成り立つことがすっきり理解できると思います． さらに，性質をいくつかの場合に分けて調べた結果を表す定理は多くの場合で転換法が使えます． 1. 逆の吟味 2. 軌跡 3. ケーリー・ハミルトンの等式 目次 |