2.軌跡 ここでは，軌跡を扱います．軌跡とは曲線の持つ図形的性質に目を向けたものです． 軌跡を求めたときなぜ逆の吟味が必要なのかを考えます． 軌跡を求める手順は． （１）求める軌跡上の任意の点の座標を$P(x,y)$とおき，与えられた条件を$x,y$の関係式で表す． （２）（１）で得た関係式を計算して$x,y$の方程式を導き出す． となります．この手順から分かるように，（２）の変形が同値変形なら逆の吟味は必要ありません． しかし実際は同値でない場合やすぐには同値と分からない場合がたくさん存在します． 例を挙げましょう． 
例1２定点$F(c,o),F'(-c,0)$からの距離の和が$2a$である点$P(x,y)$の軌跡を求めよう．ただし$a$＞$c$＞0. 楕円の軌跡を求めるわけですが，標準的な解答は次の通りです． 解答 $PF+PF'=2a$ より $\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$・・・@ 両辺を平方して整理すると $\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\dfrac{cx}{a}$・・・A 両辺を平方して整理すると $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-c^2}=1$ $b^2=a^2-c^2$とおくと $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ となります． この計算から分かるように変形は同値変形ではありません． したがって，逆をきちんと示す必要があります． 同値変形でない可能性があるところは，平方している２箇所です． すなわち逆が成り立つことを示すには@，Aの右辺が正であることを示す必要があります． 逆は次のように証明します． $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ のとき， $-a\leqq x \leqq a, \ -b\leqq y \leqq b$・・・B である． Aの右辺は $a+\dfrac{cx}{a}\geqq a+\dfrac{-ac}{a}=a-c$＞$0$ @の右辺については，Bより $(x+c)^2+y^2\leqq (a+c)^2+b^2 =a^2+2ac+a^2$＜$4a^2$ これで逆が示された． この問題はどの教科書でも扱われる問題です．いくつかの教科書を見ると，逆の言及がない場合と 一言逆が成り立つと述べているかのどちらかです．これは，軌跡の問題では逆の吟味について深く立ち入る必要がないと いうシグナルと考えてよさそうです． ただ，得られた式は必要条件ですから，除外点がないかどうかに注意する習慣を持つことは大切なことです． もう少し詳しく説明します．例題を利用して，逆の必要性を考えて見ましょう． まず，アポロニウスの円の軌跡を考えます．初等幾何的な証明は次のようになります． 定理（アポロニウスの円） ２定点$A,B$からの距離の比が$m:n$の点の軌跡は線分$AB$を$m:n$に内分する点，外分する点を直径の両端とする円である． 
$(\Rightarrow)$$PA:PB=m:n$のとき $\triangle PAB$で$\angle PAB$の内角，外角の２等分線と辺$BC$との交点を$C,D$とすれば$C,D$は線分$AB$を$m:n$ に内分，外分する点であるから， $\angle CPD=90^{\circ}$ したがって，$P$は$CD$を直径とする円周上にある． 
$(\Leftarrow)$線分$AB$を$m:n$に内分，外分する点を$C,D$とし，点$P$は$\angle CPD=90^{\circ}$を満たすとき， $B$を通り，$AP$と平行な直線を引き$PD$および$PC$の延長との交点をそれぞれ$Q,R$とする． このとき， $BQ:AP=n:m=RB:AP$ より $BQ=BR$ さらに， $\angle RPQ=90^{\circ}$ より $BP=BQ$ $\therefore PA:PB=PA:BQ=m:n$ となります．なかなか難しい証明です．この証明を見て馬鹿みたい．簡単にできるのにと思うのは素人です． 証明は，本を探せば，どこかに書いてあるので自分で出来るかどうかは大きな問題ではないのです．その内容から何を学ぶことが出来るかです． 証明をゆっくり眺めればいろいろなことが分かるでしょう． さて，この初等幾何の証明では逆を省略していいとは考えないと思います． 図形の性質では逆の成り立たない命題すなわち同値でない命題はたくさんあります．たとえば 
命題$\triangle ABC$で辺$AB$の中点を$D$,点$E$を辺$AC$上の点とする．このとき次が成り立つ． $AE=EC \ \ \Longrightarrow DE=\dfrac{BC}{2}$ の逆は成り立つとは限りません． この状況は代数計算とは大分異なります．すなわち，代数計算ではほとんどが同値変形です．もちろん両辺を平方するなどの 同値変形でない場合もありますがそれほど多くありません． 現在，中学，高校において，軌跡はほとんどが座標またはベクトルを用いたいわゆる解析幾何の取り扱いで， 用いる変形の多くが同値変形で，数学的にみて逆の証明が必要でない場合が多くあります． しかし，初等幾何における軌跡の取り扱いが影響して現在，軌跡における逆の必要性が残っているのです． ちなみにアポロニウスの定理をベクトルを用いて証明すると次のようになります． $AP:BP=m:n$ より $n^2 |\overrightarrow{PA}|^2-m^2 |\overrightarrow{PB}|^2=0$ $(n\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB})\cdot (n\overrightarrow{PA}-m\overrightarrow{PB})=0$ $\dfrac{n\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}}{m+n}\cdot \dfrac{n\overrightarrow{PA}-m\overrightarrow{PB}}{-m+n}$=0 線分$AB$を$m;n$に内分，外分する点をそれぞれ$C,D$とすれば $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=0$ したがって，点$P$は$CD$を直径とする円． $C,D$は$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$であるので， 逆は必要ありません． 次に逆の意義を説明します．． 例2 2点$A(-1,0),B(1,0)$に対して $AP^2+BP^2=10$・・・@ を満たす点$P$の軌跡を求めよ． 解答1 $P(x,y)$とおくと，@より， $(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=10$・・・A したがって，$P(x,y)$は $x^2+y^2=4$・・・B を満たす． この解答の意味を， @を満たす点$P$は図形B上にあるということで，@を満たす点$P$がBの図形のすべてをつくしているとは主張していない という立場にたった解答と考えるなら当然逆が必要で，次の内容を付け加える必要があります． 逆に$P(x,y)$がBを満たすなら，Aを満たし，@を満たす． したがって，Bを満たす点はすべて@を満たす． したがって，@を満たす点$P$の軌跡は 円$x^2+y^2=4$ である． という解答になります． 通常は，ここで述べた逆の部分は 逆は成り立つので求める軌跡は 円$x^2+y^2=4$ である． と書くのが一般的です． もう一つの解答は 解答2 $P(x,y)$とおくと， $AP^2+BP^2=10$ $\Longleftrightarrow (x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=10$ $\Longleftrightarrow x^2+y^2=4$・・・B であるので，求める軌跡は円Bである． 式の変形をこのように考える立場です． 当然このように考えれば逆は必要ありません． 軌跡にはここで述べた2つの考え方が混在しているのです． もう一つ例を挙げましょう． 
例32直線 $kx-y=0$・・・@ $x-2+ky=0$・・・A がある．$k$の値が変化するとき，２直線@，Aの交点の軌跡の方程式を求めよ． 解 2直線@，Aの交点は@，Aを両方満たすので，@，Aより$k$を消去した式も満たす．すなわち @$\times y -$A$\times x$ より $x(x-2)+y^2=0$・・・B を満たす． ここまでの意味は，２直線@，Aの交点すなわち，@，Aをともに満たす点はすべて図形B上にあるという意味です． 問題は@，Aの交点が図形B上のすべての点をつくしているかが問題です． これは丁寧に逆をたどる必要があります． 円B上の点を$P(x_0,y_0)$とする． $x_0\neq 0$のとき $k=\dfrac{y_0}{x_0}$ で定めれば， $x_0-2+ky_0=x_0+\dfrac{y_0^2}{x_0}=\dfrac{x_0(x_0-2)+y_0^2}{x_0}=0$ したがって，$P(x_0,y_0)$は２直線@，Aの交点である． $x_0=0$すなわち原点のときは，Aが原点を通ることはないから，原点は含まれない． したがって，求める軌跡は 円$x(x-2)+y^2=0$より原点を除いたものである． 以上いろいろな例を挙げましたが，軌跡の問題では，得られた式は必要条件ですから，除外点がないかどうかに注意する 習慣を持つことが大切なことです．さらに，逆の証明が意味があることを認めたうえで，必要ないと判断するなら書 く必要がないとするのが正しい立場です． ここで19世紀の幾何学の現状を述べることも意味のあることです． 幾何学を初等幾何学的に扱う方法を総合的といい，ベクトルを用いたり，座標を導入し直線や曲線の方程式を用いる方法を 解析幾何と言います．本来はこの2つが相互に補い合い刺激しあって発展すべきなのに，19世紀後半この２つの分野は 決定的な対立を生んでしまいました．総合的の代表はシュタイナー(Jacob Steiner)，解析幾何の代表はブルュッカー (Julius Plucker)です．詳しい内容は 高木貞治著 近世数学史談 共立全書 にあります．この対立の影響が，軌跡においての逆の取り扱いに残っているのだと思います． 1. 逆の吟味 3. ケーリー・ハミルトンの等式 4. 転換法 目次 |