13.ケーリー・ハミルトンの等式 今までは問題に対してその必要条件を利用してきました． ここでは，十分条件を用いるとどうなるかを調べます． 具体例で説明します． 方程式 $x=1$ に対してその必要条件である $x^2=1$ を考えると，解でないものを含むことがあるが，少なくとも $x=1$ は含みますから，解いた解を１つ１つ解であるかどうかを確認すれば答えを求めることができます． したがって，この解法は 問題ありません．というより，必要条件が与えら得た条件より はるかに簡単になる場合がよくあり，数学ではよく用いられる方法です． しかし，逆の十分条件を用いることはどうでしょう． $x^2=1$ に対して $x=1$ を用いるということです． $x=-1$ は消えてしまって，探しようがありません．このことから分かるように 十分条件を用いてはいけないのです．皆さんは $x^2=1$ であるから $x=1$ である とはだれもしないと笑うかもしれませんが，これと同じことを平気でする高校生が後を絶たないのです． それが標題のケーリー・ハミルトンの等式です． ケーリー・ハミルトンの等式とは次の等式です． 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$ が成り立つ． 定理の形で書くと次のようになります． 定理 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$について $a+d=s,ad-bc=t \Longrightarrow A^2-sA+tE=0$ この定理は逆が成り立たないことを確認しましょう． $s=3,t=2$ のとき調べます． $A^2-3A+2E=(A-2E)(A-E)=0$ より $A=E,A=2E$は$A^2-sA+tE=0$ を満たしますが， $A=E$ のとき $s=a+d=2,t=ad-bc=1$ であり $A=2E$ のとき $s=a+d=4,t=ad-bc=4$ である． すなわち $s \neq 3,\ t \neq 2$ となります． この例から分かるように上の定理は逆は成り立ちません．したがって， $a+d=s,ad-bc=t$ は $A^2-sA+tE=0$ の十分条件ですが必要十分条件ではりません． 十分条件が答えになるないことは上で説明した通りです． この間違いは数学では 本質的な間違いです． 計算ミスとか勘違いですむ問題ではなく，それらよりはるかに大きな問題で，部分点の対象には ならないことを理解して欲しいと思います． 具体的には次のような解答です． 問題 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$が $A^2-3A+2=0$ を満たすとき行列$A$を求めよ 本質的に間違いの解答 $a+d=3,ad=bc=2$ のとき $A^2-3A+2=0$ であるから，求める行列は $a+d=3,ad=bc=2$ を満たす行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ である． この解答は方程式 $x^2=1$ を $x=1$ と解くことと何らかわらにことなのです． それでは，ケーリー・ハミルトンの等式はどのように使えばよいか述べます． よく使うのは，同値の形に変形して用います．すなわち 命題 行列$A$が$A \neq kE$かつ$A \neq 0$のとき $xA=yE \Longleftrightarrow x=0,y=0$ 証明 $(\Leftarrow)$はあきらか $(\Rightarrow)$ $x \neq 0$とすると$A=\dfrac{y}{x}E$となり$A \neq kE$に矛盾． したがって$x=0$. さらに$y=0$. この命題より，ケーリー．ハミルトンの定理を次のように同値の形に直すことができます． 定理 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$について$A \neq kE$のとき $a+d=s,ad-bc=t \Longleftrightarrow A^2-sA+tE=0$ が成り立つ 証明 $(\Leftarrow)$だけを示せばよい． $A^2-sA+tE=0$ ・・・@ $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$・・・A @−Aより $(a+d-s)A=(ad-bc-t)E$ $A \neq kE$より $a+d=s,ad-bc=t$ この定理を用いて$A=kE,A \neq kE$と場合わけをするとすっきり処理ができます． 例題 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ が$A^2-3A+2E=0$のときAを求めよ． 解答 （１）$A \neq kE$のとき ケーリー．ハミルトンの等式より $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$・・・@ 仮定より $A^2-3A+2E=0$・・・A @−Aより $(a+d-3)A=(ad-bc-2)E$ ここで$A \neq kE$であるから $a+d=3,ad-bc=2$ （２）$A = kE$のとき $A^2-3A+2E=0$に$A = kE$を代入し $k^2-3k+2=0$ $\therefore k=1,2.$ （１），（２）より求めるＡは 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$が$a+d=3,ad-bc=2$を満たす場合と$A=E,2E$である． この問題は成分計算で求めることを大切です． 行列で，（１，１）成分と（２，２）成分は対角成分といい，行列の情報をたくさん持っています． したがって，（１，２）成分と（２，１）成分の方が計算しやすくなっています． そのことを知っていると， 行列を成分計算で解くこともそれほど困難ではありません． 実際の入試では，成分計算で行う場合が結構多いものです． 別解答 $A^2-3A+2E=0 =\begin{pmatrix} a^2+bc-3a+2 & ab+bd-3b \\ ac+cd-3c & bc+d^2-3d+2 \end{pmatrix}=0$ したがって， $\begin{cases} a^2+bc-3a+2=0 \ \ \cdots @\\ ab+bd-3b=0 \ \ \cdots A\\ ac+cd-3c=0 \ \ \cdots B\\ bc+d^2-3d+2=0 \ \ \cdots C \end{cases}$ を解けばよい． A，Bはそれぞれ $b(a+d-3)=0,c(a+d-3)$ であるから，場合分けする． (1)$a+d-3=0$のとき A，Bは使い切ったことになる． Cに$d=3-a$を代入すると $bc+(3-a)^2-3(3-a)+2=0$ $\therefore a^2-3a+2=0$ したがって，$a+d-3=0$のもとでは@とCは同じ式である． ゆえに，$a,b,c,d$は $a+d=3,a^2+bc-3a+2=0$ を満たせばよい． 第２式を $a^2+bc-3a+2=a(a-3)+bc+2=-ad+bc+2=0$ すなわち $ad-bc=2$ とすると見やすい． (2)$a+d-3 \neq 0$のとき A，Bより$b=0,c=0$ @より$a=1,2$, Cより$d=1,2$ ここで $a+d-3 \neq 0$より $a=d=1$および$a=d=2$を得る． したがって，求める$A$は 行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$が$a+d=3,ad-bc=2$を満たす場合と$A=E,2E$である． 1. 逆の吟味 2. 軌跡 4. 転換法 目次 |