1.逆の吟味 数学では逆の吟味が必要な場合がよくあります．ここでは，その内容を扱います． まず，次の例題からはじめましょう． 例題１ 関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx-2$ が $x=-1,x=3$ で極値をとるように定数$a,b$の値を定めよ． 解 $f'(x)=3x^2+2ax+b$ である． $x=-1,3$で極値をとるから $f'(-1)=3-2a+b=0,f'(3)=27+6a+b=0$ ・・・�@ �@を解いて $a=-3,b=-9$ 逆に $a=-3,b=-9$ のとき $f'(x)=3x^2-6x-9=4(x+1)(x-3)$ より $x=-1,x=3$ で極値をとる． 解説 解答はこのように逆も示しているのが一般的です．なぜ，逆が必要か分かりますか． それは，解答のもととなる�@は次の定理からきているからです． 定理 　 関数$y=f(x)$が$x=a$で極値をとる$\Longrightarrow f'(a)=0$ この定理は$f(x)=x^3$の$x=0$の場合を考えれば分かるように逆は成り立ちません． すなわち解答の�@は問題の必要条件です． すなわち，求めたいものは含んでいるが，余計なものも含むかも知れません．その確認が必要なのです． しかし，この問題の解答で，必ず逆が必要かと言うとそうではありません． $f'(x)$は２次式で�@を満たせば， $f'(x)=0$ は２つの解$x=-1,x=3$を持ちそれらの解は単解であり， $x=-1,3$ の前後で$f'(x)$の符号が変るのは当たり前です． したがって，この問題では逆を省略しても減点されないでしょう． 入試では当たり前のことをくどくどと書くことは 決してほめられません． 次の例題を見れば逆の吟味が必要なことがわかるでしょう． 例題2 関数 $f(x)=x^3-3x^2+ax$ が$x=1$で極値をとるように定数$a$の値を定めよ． 解 $f'(x)=3x^2-6x+a$ $x=1$で極値をとるから $f'(1)=-3+a=0$ $\therefore　a=3$ 逆に$a=3$のとき $f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)^2$ より極値をとらない． したがって，条件を満たす$a$は存在しない． 次の問題も逆の吟味が必要なことがわかると思います． 例題３ 関数$f(x)=\dfrac{x-a}{x^2+x+1}$が$x=-1$で極値をとるように定数$a$の値を定めよ． 解答 $f'(x)=\dfrac{-x^2+2ax+a+1}{(x^2+x+1)^2}$ より，$f(x)$が$x=-1$で極値を持つとすると $f(-1)=-1-2a+a+1=0$ 　　$\therefore a=0$ 逆に$a=0$のとき $f'(x)=-\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x^2+x+1)^2}$ より$x=-1$で極値を取る． したがって，$a=0$． 次の例題も逆の吟味があったほうがよいのですが，教科書では現在は省略されている場合が多い（以前は省略されていなかった）． その理由を説明します． 例題４ 次の等式が成り立つように定数$a,b$の値を定めよ． $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2$ 解答 $\displaystyle \lim_{x \to 1} (x-1)=0$ より， $\displaystyle \lim_{x \to 1} (a\sqrt{x}+b)=0$ すなわち$a+b=0$．・・・�@ このとき $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}$ $\therefore a=4,b=-4$ 逆に$a=4,b=-4$のとき， $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4\sqrt{x}-4}{x-1}=2$ が成り立つ． 解説 なぜ，この問題で逆の吟味が必要なのかを説明します． �@の条件が，問題の必要条件だからです． �@は次の定理を用いています． 定理 $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=A$かつ$\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)=0$ ならば $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=0$ が成り立つ． この定理の逆は成り立ちませんので，上の解答の�@は問題の必要条件です． その必要条件の下で進めているので， 逆が必要になります． この問題の解答は逆を行わない場合も多く見かけます． 必要条件の�@のもとで $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2$ を解いているわけです． 分かりやすい例を挙げましょう． 方程式 $x^2=1$ を解くのに， $x^2=1$ を満たす$x$は必ず $x^2\leqq 4$ を満たすので， $-2\leqq x \leqq 2$ の中で $x^2=1$ の解を見つけようという方法です． このように，必要条件で範囲を絞って，与えられた問題の解を見つけようということはしばしば行われます． 問題では，必要条件の下では，得られる解は同値なので，逆の吟味は必要ありません． この問題で逆の吟味を行わない理由は他の理由も考えられます． 微分の特に極限については定義そのものが曖昧です．全体的なバランスを見た上で， ここだけ厳密に行うのはバランスを欠くという理由です． 2. 軌跡 3. ケーリー・ハミルトンの等式 4. 転換法 目次