定理 $C$は曲面$S$上のなめらかな単純閉曲線，$C$の囲む領域$D$は単連結とする． $C$の弧長による媒介変数表示を $C:(u^1(s),u^2(s)),s\in [0,d]$ とする．このとき，曲線$C$に沿った平行ベクトル場$X(s)$が曲線$C$を一周したときの$X(0)$と$X(d)$の なす角は $\displaystyle \iint_{D}Kd\sigma$ である．ただし，$K$はガウス曲率，$d\sigma$は曲面$S$の面積要素である． の証明を行なう．なお，証明の中で測地曲率を計算している．Liouvilleの公式の理解が深まると思う． まず，これから行う証明は局所的な証明であることをお断りする． 曲線$C$の囲む単連結な領域 $D$がある測地座標($I=du^2+Gdv^2$の座標系)または直交座標系（$I=Edu^2+Gdv^2$の座標系）に含まれる場合の証明です． $D$が十分小さければ$D$を含む上記の座標系が存在することは知られているが，一般の$D$では保障されていない． $D$が一つの測地座標に含まれ，その座標系となる曲面の媒介変数表示を $f(u,v)$，第１基本形式を $I=du^2+Gdv^2$ とする． $e_1=f_u,e_2=\dfrac{f_v}{\sqrt{G}}$ とおく. $e_3=e_1\times e_2$ で定めれば， $\{e_1,e_2,e_3\}$ は正規直交基底である． 曲線$C$は $(u(s),v(s))$ と表示し，曲線$C$に沿った平行ベクトル場を$X(s)$とする． 平行ベクトル場は大きさが一定であるから（説明はあとで行う），ここでは $|X(s)|=1$ とする． $X(s)$と$e_1(u(s),v(s))$のなす角を$\theta (s)$とすると $X(s)=\cos \theta (s)e_1+\sin \theta (s)e_2$ と表せる． $\dfrac{D}{ds}X(s)=0$ より，$\theta (s)$の条件を調べよう． $\dfrac{De_1(s)}{ds}\cdot e_1(s)=0,$ $\dfrac{De_2(s)}{ds}\cdot e_2(s)=0,$ $\dfrac{De_1(s)}{ds}\cdot e_2(s)+\dfrac{De_2(s)}{ds}\cdot e_1(s)=0$ に注意して， $\dfrac{D}{ds}X(s)$ $=(-\sin \theta e_1 +\cos \theta e_2)\dfrac{d\theta }{ds} +\cos \theta \dfrac{De_1}{ds}+\sin \theta \dfrac{De_2}{ds}=0$ $\therefore (\sin \theta e_1 -\cos \theta e_2)\dfrac{d\theta }{ds} =\cos \theta \dfrac{De_1}{ds}+\sin \theta \dfrac{De_2}{ds}$ $\sin \theta e_1 -\cos \theta e_2$との内積をとれば $\dfrac{d\theta}{ds}=(\cos \theta \dfrac{De_1}{ds}+\sin \theta \dfrac{De_2}{ds}) \cdot (\sin \theta e_1 -\cos \theta e_2)$ $=-\cos ^2\theta \dfrac{De_1}{ds}\cdot e_2+\sin ^2\theta \dfrac{De_2}{ds}\cdot e_1$ $=-\dfrac{De_1}{ds}\cdot e_2 \ \ \cdots (1)$ 次に，曲線$C$の単位接ベクトルを$\bar{e}_1$とおき．$\bar{e}_2$は$\bar{e}_1$を$\frac{\pi}{2}$だけ回転したベクトルとする． $\bar{e}_1$と$e_1$のなす角を$\phi$とおくと， $\bar{e}_1=\cos \phi e_1+\sin \phi e_2,$ $\bar{e}_2=-\sin \phi e_1+\cos \phi e_2$ 曲線$C$の測地曲率$k_g$は $k_g=\dfrac{D\bar{e}_1}{ds}\cdot \bar{e}_2$ $=(-\sin \phi \dfrac{d\phi}{ds}e_1+\cos \phi \dfrac{De_1}{ds} +\cos \phi \dfrac{d\phi}{ds}e_2+\sin \phi \dfrac{De_2}{ds})$ $\cdot (-\sin \phi e_1 +\cos \phi e_2)$ $=\dfrac{d\phi}{ds}+\cos ^2\phi \dfrac{De_1}{ds}\cdot e_2-\sin ^2\phi \dfrac{De_2}{ds}\cdot e_1$ $=\dfrac{d\phi}{ds}+\dfrac{De_1}{ds}\cdot e_2 \ \ \cdots (2)$ (1),(2)より $k_g=\dfrac{d\phi}{ds}-\dfrac{d\theta}{ds}$ したがって， $\displaystyle \theta (d)-\theta (0)=\int_C\dfrac{d\theta}{ds}ds$ $\displaystyle =\int_C\dfrac{d\phi}{ds}ds-\int_Ck_gds$ $\displaystyle =\iint_DKd\sigma$ 以上で定理が証明した． なお，最後の等式はガウス・ボンネの定理である． 定理の証明の中で,曲線$C$に沿った平行ベクトル場は大きさが一定であるという性質のもと，単位ベクトルとして証明した． この性質を証明しよう． ここではもっと一般に内積が一定であることを証明する． $X(s),Y(s)$がともに曲線$C$に沿った平行ベクトル場のとき， $\dfrac{d}{ds}(X(s)\cdot Y(s))=\dfrac{dX(s)}{ds}\cdot Y(s)+X(s)\cdot \dfrac{dY(s)}{ds}$ $=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T\cdot Y(s)+X(s)\cdot \left(\dfrac{dY(s)}{ds}\right)^T$ $=\dfrac{DX(s)}{ds}\cdot Y(s)+X(s)\cdot \dfrac{DY(s)}{ds}=0$ したがって，$X(s)\cdot Y(s)$は$s$の値によらず一定であることがわかる．すなわち， $|X(s)|^2=X(s)\cdot X(s)$ は一定の値をとる． 曲面上の曲線の測地曲率ベクトルとは，曲線を空間曲線と見たときの曲率ベクトル(曲線を弧長による媒介変数表示の2次導関数)の接平面への正射影によるベクトル． $\bar{e}_1(s)$が単位速度ベクトルであるから， $\dfrac{d\bar{e}_1(s)}{ds}\cdot \bar{e}_1(s)=0$ より，測地曲率$k_g$は $k_g=\dfrac{d\bar{e}_1(s)}{ds}\cdot \bar{e}_2(s)=\dfrac{D\bar{e}_1(s)}{ds}\cdot \bar{e}_2(s)$ である．詳しくは測地曲率と測地線を参照． 続く 微分幾何の目次 |