17.平行ベクトル場とガウス・ボンネの定理(4)

平行ベクトル場が定義されたので，平行ベクトル場を用いて曲面上の微分である共変微分を見直してみよう．
ここまでは，曲面上の曲線の媒介変数は弧長としていた．これは曲線の測地曲率を用いるからであり，曲線を表示するための 媒介変数は弧長である必要はない．
新しく，平行ベクトル場の定義をする．以下，媒介変数は$t$を用い，弧長とは限らない．
定義
曲線
$C:f(u^1(t),u^2(t))$
に沿ったベクトル場$X(t)$が
$\dfrac{DX(t)}{dt}=0$
を満たすとき，$X(t)$を曲線$C$に沿った平行ベクトル場という．

ベクトル場
$X(t)=a^1(t)f_1(u^1(t),u^2(t))+a^2f_2(u^1(t),u^2(t))=a^if_i$
が平行ベクトル場になるための微分方程式を求めよう．
$f_{ij}=\Gamma _{ij}^kf_k+h_{ij}n \ \ \cdots (1)$
であるから，
$\dfrac{dX(t)}{ds}=\dfrac{da^i}{dt}f_i+a^if_{ij}\dfrac{du^j}{dt}$
$=\left(\dfrac{da^k}{dt}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt}\right)f_k+a^ih_{ij}\dfrac{du^j}{dt}n$
したがって，
$\dfrac{DX(t)}{dt}=\left(\dfrac{dX(t)}{dt}\right)^T =\left(\dfrac{da^k}{dt}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt}\right)f_k$
すなわち，曲線$C$に沿ったベクトル場$X(t)=a^if_i$が平行ベクトル場であるために必要十分条件は， 連立常微分方程式
$\begin{cases} \dfrac{da^1}{dt}+a^i\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^j}{dt}=0 \\ \dfrac{da^2}{dt}+a^i\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^j}{dt}=0 \end{cases} $
この微分方程式は，斉次線形連立微分方程式であるから初期条件
$t=t_0$において$a^1(t_0)=a_0^1,a^2(t_0)=a_0^2$
を定めれば，ただ一つの解が任意の範囲で存在することが わかっている．したがって，$C$上の1点で接ベクトルを与えれば， $C$上の平行ベクトル場がただ一つ存在する．
また$t=t_0$における接ベクトル空間と平行ベクトル空間は同型あり，さらに $X(t),Y(t)$が曲線$C$に沿った平行ベクトル場の時内積 $X(t)\cdot Y(t)$ が一定であるから(前頁参照)，この同型は内積を保つ同型である．

ここで，曲面上の曲線に沿った平行ベクトル場の微分方程式が分かったので，微分方程式を解いて平行ベクトル場を求めよう．
例
単位球面
$f(s,t)=(\cos s \cos t,\cos s \sin t,\sin s)$
の小円
$r(t)=(\cos s_0 \cos t,\cos s_0 \sin t,\sin s_0)$(緯度$s_0$の緯線)
の平行ベクトル場を求める．
単位球面の第１基本量は
$f_s=(-\sin s \cos t,-\sin s \sin t,\cos s)$
$f_t=(-\cos s \sin t,\cos s \cos t,0)$
より
$E=f_s\cdot f_s=1,F=f_s\cdot f_t=0,G=f_t\cdot f_t=\cos ^2s$
クリストフェルシンボル$\Gamma_{ij}^k$は
$\Gamma _{22}^1=-\dfrac{G_s}{2E}=\sin s \cos s$
$\Gamma _{12}^2=\Gamma _{21}^2=\dfrac{G_s}{2G}=-\dfrac{\sin s}{\cos s}$
で，ほかは$0$である．
小円$r(t)$に沿ったベクトル場$X(t)$を
$X(t)=a^1(t)f_s(s_0,t)+a_2(t)f_t(s_0,t)$
とおくと，$a^1(t),a^2(t)$の微分方程式は
平行ベクトル場の微分方程式で$u^1(t)=s_0,u^2(t)=t$とおいて
$\begin{cases} \dfrac{da^1}{dt}+(\sin s_0\cos s_0)a^2=0\\ \dfrac{da^2}{dt}-\dfrac{\sin s_0}{\cos s_0}a^1=0\end{cases}$
である．
第１式を$t$で微分し，第２式を代入すると
$\dfrac{d^2a^1}{dt^2}+(\sin^2 s_0)a^1=0$
であり，これを解くと
$a^1(t)=c_1\cos \{(\sin s_0)t\}+c_2\sin \{(\sin s_0)t\}$
$a^2(t)=\dfrac{c_1\sin \{(\sin s_0)t\}-c_2\cos \{(\sin s_0)t\}}{\cos s_0}$
初期条件として
$a^1(0)=1,a^2(0)=0$
とすれば
$c_1=1,c_2=0$
したがって
$a^1(t)=\cos \{(\sin s_0)t\}$
$a^2(t)=\dfrac{\sin \{(\sin s_0)t\}}{\cos s_0}$
平行ベクトル場$X(t)$は
$X(t)=\cos \{(\sin s_0)t\}f_s(s_0,t) +\dfrac{\sin \{(\sin s_0)t\}}{\cos s_0}f_t(s_0,t)
$
$f_s$は子午線の正の向き，$f_t$は緯線の正の向きであるから，平行ベクトルは 負の回転をすることに注意すれば,小円を１周したときの平行ベクトルの変化角は $2\pi (1-\sin s_0)$でこれはすでに円錐を用いて求めた結果と一致する．

曲面$S$上の2点$A,B$を結ぶ曲線$C$が与えられたとき，点$A$における接ベクトルを1つ 定めれば，平行ベクトル場がただ一つ定まり，点$B$のベクトルがただ一つ定まる．
（すでに証明した定理より，この対応は結ぶ曲線によって異なり，任意の2点および任意の曲線によって変わらないのは 曲率$0$の定曲率曲面の時だけ）
このように点$A$の接ベクトル空間$T_A(S)$と点$B$の接ベクトル空間$T_B(S)$が曲線$C$を通して 対応つく（接続する）ことがわかった．
一方，平行ベクトル場の微分方程式を見てみよう．用いているのは$\Gamma _{ij}^k$だけである． $\Gamma _{ij}^k$は曲面上の微分（共変微分）を定める式であり，$\Gamma _{ij}^k$を与えれば，2点のそれぞれの接ベクトル空間 が2点を結ぶ曲線を用いて対応がつく．
$\Gamma _{ij}^k$を曲面の接続係数といい，曲面に$\Gamma _{ij}^k$を定めることは， 曲面上の共変微分を定めることであるが， これを接続を与えるといい，接続を与えた空間を接続空間という．なぜ接続(connection)という言葉を 用いるのか納得できると思う．たぶん，以前は共変微分より平行性のほうが重要な概念だったのであろう．

さて，ガウスは曲面を扱うのに，曲面上のベクトル場の微分を$\mathbb{R}^3$で考え， 通常の成分ごとの微分をし，結果を接ベクトル平面に正射影するという方法をとった．
すなわち，曲面上のベクトル場$X,Y$に対して$X$で$Y$を微分する$\nabla _XY$を
$Y=(Y^1,Y^2,Y^3)$
のとき，
$\nabla _XY=(XY^1,XY^2,XY^3)^T$
で定義した．
この定義で曲面の性質を調べていったのであるが， この定義がほかの数学体系と矛盾しない(compatible)妥当な定義(well defined)であるか はちょっと気になるところである．ガウスがやったのだから心配ないというわけにはいかない．
ここでは，ベクトル場の平行移動が定義できたので，ベクトルの平行移動を用いる通常行う微分の定義で曲面上の ベクトル場を微分しガウスの共変微分と一致するか調べよう．
まず，$\mathbb{R}^2$における，ベクトル場$Y$のベクトル場$X$による（方向）微分 $d_XY$の定義を確認しよう．
$X$の積分曲線を$\phi (t)$とおく．すなわち$\phi (t)$は
$\dfrac{d\phi (t)}{dt}=X(\phi (t))$
を満たす．
このとき，$\phi (t)$上のベクトル場$Y(t)=Y(\phi (t))$について
$\displaystyle d_XY=\dfrac{d(Y(t))}{dt} =\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{Y(t+\Delta t)-Y(t)}{\Delta t}$
ここで，$Y(t+\Delta t)-Y(t)$がユークリッド空間なら意味ある．すなわち $\phi (t+\Delta t)$におけるベクトル$Y(t+\Delta t)$を平行移動して$\phi (t)$ におけるベクトルと考えて計算する．
一般の曲面でも2点間の平行移動が曲線に沿ってできることがわかったので． 同じ方法で，曲面上のベクトル場に対する微分を計算する．
曲線$C:\phi (t)$をベクトル場$X$の積分曲線，曲線$C$に沿った，1次独立な平行ベクトル 場を$e_1(t),e_2(t)$とする．すなわち，$e_i$は
$\dfrac{De_i(t)}{dt}=0$
を満たす．このとき，$C$に沿ったベクトル場
$X(t)=a(t)e_1(t)+b(t)e_2(t)$
が平行ベクトル場のとき，
$\dfrac{D(X(t))}{dt}=a'(t)e_1(t)+b'(t)e_2(t)=0$
より，$a(t),b(t)$は定数である．
$Y(\phi (t))$を$Y(t)$と表し，
$Y(t)=a(t)e_1(t)+b(t)e_2(t)$
とおく．
$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{Y(t_0+\Delta t)-Y(t_0)}{\Delta t}$
分子はこのままでは意味がないが，曲線$C$に沿った平行移動によって
$Y(t_0+\Delta t)=a(t_0+\Delta t)e_1(t_0+\Delta t)+b(t_0+\Delta t)e_2(t_0+\Delta t)$
を平行移動により
$a(t_0+\Delta t)e_1(t_0)+b(t_0+\Delta t)e_2(_0)$
で置き換えれば
$\displaystyle =\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{a(t_0+\Delta t)-a(t_0)}{\Delta t}e_1(t_0) +\dfrac{b(t_0+\Delta t)-b(t_0)}{\Delta t}e_2(t_0)\right)$
$=a'(t_0)e_1(t_0)+b'(t_0)e_2(t_0)$
一方，ガウスの定義にしたがって，共変微分$\nabla _XY$を計算しよう．
$C$に沿った平行ベクトル場$e_1(t),e_2(t)$を $\phi (t_0)$を含む領域で拡張しそれをそれぞれ$\bar{e}_1,\bar{e}_2$とする． さらに
$Y=a\bar{e}_1+b\bar{e}_2$
とおく．
$\nabla _{X(t_0)}Y=(d_{X(t_0)}Y)^T$
$=(d_{X(t_0)}a)\bar{e}_1+a(d_{X(t_0)}\bar{e}_1)^T +(d_{X(t_0)}b)\bar{e}_2+b(d_{X(t_0)}\bar{e}_2)^T$
$d_{X(t_0)}a=a'(t_0),(d_{X(t_0)}\bar{e}_i)^T=\nabla_{X(t_0)}\bar{e}_i=0$
であるから
$=a'(t_0)\bar{e}_1(t_0)+b'(t_0)\bar{e}_2(t_0)$
$=a'(t_0)e_1(t_0)+b'(t_0)e_2(t_0)$
したがって，2つの定義による結果が一致した．

(平行ベクトル場とガウス・ボンネの定理の項目終わり)




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