$\S2.$微分形式$\omega _i,\omega _{ij}$と第１，２基本形式の関係 曲面 $F:f(u,v)$ に対して，１次微分形式$\omega _i,\omega _{ij}$を $\omega _i=df\cdot e_i,\omega _{ij}=de_i\cdot e_j$ で定めると $\omega _{ij}+\omega _{ji}=0$ であり， $\begin{cases} df=\omega _1e_1+\omega _2e_2 \\ de_1=\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3 \\ de_2=\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3=-\omega _{12}e_1+\omega _{23}e_3 \\ de_3=\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2=-\omega _{13}e_1-\omega _{23}e_2 \end{cases}$ となる． 前節で$d\omega _i,d\omega _{ij}$を計算したのであるが，これだけではあまり使い勝手がよくない． ここでは，$\omega _i,\omega _{ij}$と第１基本形式 $I=df\cdot df=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ 第２基本形式 $II=-df\cdot dn=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$ の関係を調べる． まず第１基本形式からはじめよう． $I=df\cdot df=(\omega _1e_1+\omega _2e_2)\cdot (\omega _1e_1+\omega _2e_2) =\omega _1\omega _1+\omega _2\omega _2$ 次に \(f_u=ae_1+be_2\) \(f_v=ce_1+de_2\) \(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) とおく．このとき \(\begin{pmatrix} f_u \\f_v\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} \) より $df=\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_u \\ f_v \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} e_1 \\ e_1 \end{pmatrix}$ 一方 $df=\begin{pmatrix} \omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ したがって \(\begin{pmatrix} \omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}A\) この式を第１基本形式 $I=\omega _1\omega _1+\omega _2\omega _2$ に代入する． $I=\begin{pmatrix} \omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega _1 \\ \omega _2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}AA^t\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$ $\therefore AA^t=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\cdots (1)$ 次に第２基本形式を調べよう． $II=-df\cdot de_3$ $=-(\omega _1e_1+\omega _2e_2)\cdot (\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2)$ $=-\omega _1\omega _{31}-\omega _2\omega _{32}$ $=\omega _1\omega _{13}+\omega _2\omega _{23}$ $(1)$より$\omega _1,\omega _2$は一次独立であるから $\omega _{13}=p\omega _1+q\omega _2$ $\omega _{23}=r\omega _1+s\omega _2$ \(B=\begin{pmatrix}p & q \\ r & s \end{pmatrix}\) とおく．このとき $II=\omega _1\omega _{13}+\omega _2\omega _{23}$ $=\begin{pmatrix}\omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega _{13} \\ \omega _{23} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}du & dv \end{pmatrix}ABA^t\begin{pmatrix}du \\ dv \end{pmatrix}$ $\therefore ABA^t=\begin{pmatrix}L & M \\ M & N \end{pmatrix}\cdots (2)$ $(2)$より $\det B\det(AA^t)=\det\begin{pmatrix}L & M \\ M & N \end{pmatrix}$ $\therefore \det B=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=$(ガウス曲率) $B=A^{-1}\begin{pmatrix}L & M \\ M & N \end{pmatrix}(A^t)^{-1}$ より $\mathrm{trace}(B)=\mathrm{trace}\left(\begin{pmatrix}L & M \\ M & N \end{pmatrix} (AA^t)^{-1}\right)$ $=\mathrm{trace}\left(\begin{pmatrix}L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1}\right)$ したがって， $\dfrac{\mathrm{trace}B}{2}=H=$(平均曲率) である(行列の計算はガウス写像3参照). この節の内容をまとめておこう． 定理1 行列$B$を $\begin{pmatrix}\omega _{13}\\ \omega _{23}\end{pmatrix} =B \begin{pmatrix}\omega _1\\ \omega _2\end{pmatrix}$ で定義する．このとき，曲面のガウス曲率$K$,平均曲率$H$は $K=\det B,2H=\mathrm{trace}B$ である． 続く 微分幾何の目次 |