微分幾何

8.ガウス写像(3)

ワインガルテン写像
$W:T_P(F)\longrightarrow T_P(F);f_u\mapsto -n_u,f_v\mapsto -n_v$
を行列表示しよう．すなわち
$-n_u=af_u+bf_v$
$-n_v=cf_u+df_v$
における$a,b,c,d$を第１基本量$E,F,G,$第２基本量$L,M,N$で表す．
曲面上の微分の扱い方を簡単に説明する．なお詳しい内容は次の曲面の第１基本形式と第２基本形式の関係で扱う．
曲面の各点のベクトルは$f_u,f_v,n$で表せる．したがって，$f_u,f_v,n$の偏微分である
$f_{uu},f_{uv},f_{vv}.n_u,n_v$ を$f_u,f_v,n$で表せれば，曲面上の微分が自由にできることになる．
$f_{uu},f_{uv},f_{vv}$を$f_u,f_v,n$で表した式をガウスの誘導方程式，$n_u,n_v$を$f_u,f_v$で表した式をワインガルテンの誘導方程式という．
これから$n_u,n_v$を計算する．これは，ワインガルテンの誘導方程式を求めることである．本質的には次章の内容と同じであるが，ここでは，２行２列の行列を用いて計算する．

$W(f_u)=-n_u=af_u+bf_v$
$W(f_v)=-n_v=cf_u+df_v$
とおく．
$\begin{pmatrix} -n_u \\ -n_v \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_u \\ f_v \end{pmatrix}$
ここで$\begin{pmatrix} f_u & f_v \end{pmatrix}$との内積をとる．すなわち
$\begin{pmatrix} -n_u \\ -n_v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f_u & f_v \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_u \\ f_v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f_u & f_v \end{pmatrix} $
したがって，
$\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$
$\therefore \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\dfrac{1}{EG-F^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} G & -F \\ -F & E \end{pmatrix} $
$=\dfrac{1}{EG-F^2}\begin{pmatrix} LG-MF & -LF+ME \\ MG-NF & -MF+NE \end{pmatrix}$
したがって，
$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$
$\mathrm{Tr} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\dfrac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}$
行列$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$の固有値$\alpha,\beta$が曲面の主曲率であるから，曲面のガウス曲率$K(=\alpha \beta),$ 平均曲率$H(=\frac{\alpha +\beta}{2})$ は
$K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$
$H=\dfrac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}$

次にガウス曲率の図形的意味を調べよう．
$n_u\times n_v=(af_u+bf_v)\times (cf_u+df_v)$
$=(ad-bc)f_u\times f_v$
$=\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}f_u\times f_v$
$=Kf_u\times f_v$
ここで$\times $は外積を表し，$K$は曲面$F$のガウス曲率である．
ここで得られた，
$n_u\times n_v=Kf_u\times f_v$ より，
$|n_u\times n_v|=|K||f_u\times f_v|\cdots (\sharp)$
であり，この式は $n_u,n_v$の決める平行四辺形の面積は$f_u,f_v$の決める平行四辺形の面積の$|K|$倍であることが曲面$F$上の任意の点で成り立つことを意味している．
積分で表すと次のようになる．
曲面$F$の面積要素$d\sigma _1$,曲面$S^2$の面積要素$d\sigma _2$は，
$d\sigma _1=|f_u\times f_v|dudv$
$d\sigma _2=|n_u\times n_v|dudv$
である．
$P$を含む$F$の領域$D$，ガウス写像$g$による$D$の像$g(D)$に対して,$D$の面積を$\mathrm{Area}(D)$で表せば
$\displaystyle \mathrm{Area}(D)=\int_{D}|f_u\times f_v|dudv$
$\displaystyle \mathrm{Area}(g(D))=\int_{G(D)}|n_u\times n_v|dudv=\int_D|K||f_u\times f_v|dudv$
したがって，$D$をどんどん収縮させて$P$に近づけると
$\dfrac{\mathrm{Area}(g(D))}{\mathrm{Area}(D)}\rightarrow |K(P)|\cdots (\flat )$
これは，上の接ベクトル平面上でワインガルテン写像は面積を$|K(P)|$させる線型変換であることと同じである．
$(\sharp)$はガウス写像を各点において線型変換で近似すると，その線型変換により面積は$|K(P)|$倍するという意味であり，$(\flat )$は$P$を含む十分小さい領域$D$をとれば
$\mathrm{Area}(g(D))\doteqdot |K(P)|\mathrm{Area}(D)$
を意味する．

続く

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