$\S3.$接続形式といくつかの性質 ここでは正規直交基底より得られる微分形式からいくつかの性質を導き出そう． まず，ここまでの内容をまとめておこう． 曲面 $F:f(u,v)$ 上に正規直交基底 $\{e_1,e_2,e_3\}$ を定め， $\omega _i=df\cdot e_i,\omega _{ij}=de_i\cdot e_j \ \ \cdots (2)$ で$\omega _i,\omega _{ij}$を定めると $\omega _{ij}+\omega _{ji}=0$ であり， $\begin{cases} df=\omega _1e_1+\omega _2e_2 \\ de_1=\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3 \\ de_2=\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3=-\omega _{12}e_1+\omega _{23}e_3 \\ de_3=\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2=-\omega _{13}e_1-\omega _{23}e_2 \end{cases}$ となる． さらに５つの微分形式 $\{\omega _1,\omega _2,\omega _{12},\omega _{13},\omega _{23}\}$ について次が成り立つ． $\begin{cases} d\omega _1=\omega _{12}\wedge \omega _2 \\ d\omega _2=\omega _{21}\wedge \omega _1 \\ d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32} \\ d\omega _{13}=\omega _{12}\wedge \omega _{23} \\ d\omega _{23}=\omega _{21}\wedge \omega _{13} \\ \end{cases}$ また， \(\begin{pmatrix} f_u \\f_v\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} \) \(\begin{pmatrix} \omega _{13} \\ \omega _{23}\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix} \omega _1 \\ \omega _2 \end{pmatrix} \) で行列$A,B$を定めると $AA^t=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}.$ であり，曲面のガウス曲率を$K$平均曲率を$H$とすると $\det B=K,\mathrm{trace}B=2H$ である． ここでも $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ とおく． まず$\omega _i\wedge \omega _2$を計算する． \(\begin{pmatrix} \omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}du & dv \end{pmatrix}A\) であるから $\omega _1\wedge \omega _2=(adu+cdv)\wedge (bdu+ddv)$ $=(ad-bc)du\wedge dv$ ここで，\(f_u,f_v\)と\(e_1,e_2\)は同じ向きに取っているから$ad-bc>0$ $=\sqrt{EG-F^2}dudv$ したがって，$\omega _1\wedge \omega _2$は曲面の面積要素であることがわかる． したがって， 曲面$F$の領域$D$の面積は $\displaystyle \int_D\omega _1\wedge \omega _2$ となる． 次に$d\omega _{12}$を計算しよう． \(d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32}\) で， \(\omega _{13}=p\omega _1+q\omega _2\) \(\omega _{23}=r\omega _1+s\omega _2\) より \(d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32}\) \(=-(p\omega _1+q\omega _2)\wedge (r\omega _1+s\omega _2)\) \(=-(ps-qr)\omega _1\wedge \omega _2\) \(=-\det B\omega _1\wedge \omega _2\) \(=-K \omega _1\wedge \omega _2\) 先を急がず，曲面の決定する $\begin{cases} df=\omega _1e_1+\omega _2e_2 \\ de_1=\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3 \\ de_2=\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3=-\omega _{12}e_1+\omega _{23}e_3 \\ de_3=\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2=-\omega _{13}e_1-\omega _{23}e_2 \end{cases}$ さらに５つの微分形式 $\{\omega _1,\omega _2,\omega _{12},\omega _{13},\omega _{23}\}$ の成り立つ式 $\begin{cases} d\omega _1=\omega _{12}\wedge \omega _2 \\ d\omega _2=\omega _{21}\wedge \omega _1 \\ d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32} \\ d\omega _{13}=\omega _{12}\wedge \omega _{23} \\ d\omega _{23}=\omega _{21}\wedge \omega _{13} \\ \end{cases}$ を見直そう． この式は，曲面を３次元空間の中におき，外から見ている式です． 曲面を曲面上で生活している立場に立って調べたらどうなるか考えてみましょう． この幾何学を２次元曲面の場合を内在幾何学(Intrinsic geometry),3次元以上の 多様体ではリーマン幾何学といいます． 内在幾何では，曲面の法ベクトルは使えません．実際，私たちの生活している$\mathbb{R}^3$が$\mathbb{R}^4$ に埋め込まれているとします．私たちは$\mathbb{R}^4$における法線ベクトルは意識できないことと同じです． ガウスは，出てくるベクトルをことごとく接平面に正射影することによって曲面を調べました． 内在幾何の立場に立って曲面を扱うと次のようになります． $n=e_3$が使えないことを考慮します． $df=f_udu+f_vdv=\omega _1e_1+\omega _2e_2$ これは問題ありません． $de_1=\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3$ $de_2=\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3=-\omega _{12}e_1+\omega _{23}e_3$ これは，問題大ありです．$e_3$が使えないので．曲面の接平面への正射影を考えます． $De_1=(\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3)^T=\omega _{12}e_2$ $De_2=(\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3)^T=\omega _{21}e_1$ ただし$\omega _{21}=-\omega _{12}$ で$D$を定義します． ここで，$T$は接平面の正射影を表します． この作用素$D$を共変微分といいます．なお通常の微分$d$ を共変微分と区別するため普通微分といいます． まとめましょう． $df=f_udu+f_vdv=\omega _1e_1+\omega _2e_2$ $De_1=\omega _{12}e_2$ $De_2=\omega _{21}e_1$ 次に外微分を調べましょう．外微分は内在幾何でも計算方法は変わりません． $d\omega _1=\omega _{12}\wedge \omega _2$ $d\omega _2=\omega _{21}\wedge \omega _1$ は問題ありません．しかし $d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32}$ は問題大ありです．$\omega _{13},\omega _{23}$は定義されていないので，計算できません． しかし， $d\omega _{12}=-K\omega _1\wedge \omega _2$ が成り立ちます． まとめると次のようになります． $\begin{cases} df=f_udu+f_vdv=\omega _1e_1+\omega _2e_2 \\ De_1=\omega _{12}e_2 \\ De_2=\omega _{21}e_1 \\ d\omega _1=\omega _{12}\wedge \omega _2 \\ d\omega _2=\omega _{21}\wedge \omega _1 \\ d\omega _{12}=-K\omega _1\wedge \omega _2 \end{cases}$ $\omega _{12}$を接続形式といいます． 内在幾何では $df=f_udu+f_vdv=\omega _1e_1+\omega _2e_2$ は考えられるから第１基本形式 $I=df\cdot df=\omega _1\omega _1+\omega _2\omega _2$ は当然定義できます．しかし，第２基本式は $II=d^2f\cdot n=(f_{uu}du^2+2f_{uv}dudv+f_{vv}dv^2\cdot n$ より定義できません．すなわち，内在幾何は第１基本形式だけで曲面を調べる 学問ということもできます．第１基本形式だけで決まる量を内在量といいます． 曲面の第１基本形式，第２基本形式を与えれば曲面は完全に決まってしまう(曲面の基本定理)が，第１基本形式だけで幾何学を行うことは，それとは異なる大雑把な曲面の扱い方です．たとえば，平面，円柱面，円錐面は内在幾何では区別できません． ここで，空間曲線を思い出しましょう．空間曲線を決定するのは曲率と捩率です．曲線の曲率と捩率は第１基本形式だけで 扱えるのでしょうか．考えてみましょう．円柱面と平面は第１基本形式だけでは区別できません． 円柱面の母線を切って広げれば平面になるし，平面をまるめれば円柱面になります． 一方円柱上の円や円柱らせんは切り広げた平面上では直線になるので曲率や捩率は 内在量ではないことがわかります． さらに，曲面のガウス曲率はその点の法曲率の最大値と最小値の積で定義しています．すなわち， その点を通る曲線の曲率で定義しています．ですから，ガウス曲率は内在量とは思えません． 実際，曲面の曲がり方は外から眺めてわかることで，曲面上の長さや角度を 測っただけではわかるものではなさそうです． ところがガウス曲率は内在量であるというのが ガウスをしてびっくりする定理(Theorem egregium)と言わしめた定理です． すでに導き出した定理 $d\omega _{12}=-K\omega _1\wedge \omega _2$ がその定理です． $\omega _1,\omega _2,\omega _{12}$は内在量ですからガウス曲率$K$も内在量です． この内在幾何の考えを，ｎ次元多様体に用いたのがRiemannの提唱したRiemann幾何です． 例 測地座標 $I=du^2+Gdv^2$ のガウス曲率$K$を正規直交基底による，外微分を用いて求めてみよう． $e_1=f_u,e_2=\dfrac{f_v}{\sqrt{G}}$ $df=f_udu+f_vdv=\omega _1e_1+\omega _2e_2$ より $\omega _1=du,\omega _2=\sqrt{G}dv$ $d\omega _1=\omega _{12}\wedge \omega _2=\omega _{12}\wedge \sqrt{G}dv$ および $d\omega _1=0,$ $d\omega _2=(\sqrt{G})_udu\wedge dv$ および $d\omega _2=\omega _{21}\wedge \omega _1=-\omega _{12}\wedge du$ より $\omega _{12}=(\sqrt{G})_udv$ したがって， $d\omega _{12}=(\sqrt{G})_{uu}du\wedge dv$ 一方 $d\omega _{12}=-K\omega _1\wedge _1\omega _2=-K\sqrt{G}du\wedge dv$ $\therefore K=-\dfrac{(\sqrt{G})_{uu}}{\sqrt{G}}$ 続く 微分幾何の目次 |