§3．ガウス曲率0の曲面 ここで，は可展面とガウス曲率$K\equiv 0$の曲面とほとんど一致することを示す． ほとんどと述べたのは実際は (可展面)$\subsetneqq (K\equiv 0$の曲面$)$ が成り立つ．すなわち$K\equiv 0$であるが可展面でない曲面が存在する． 可展面はすでに示したように錐面，柱面，接線面だけである．したがって，$K\equiv 0$の曲面は 一部の例外を除いてこの3種類しかないことが示される． これは素晴らしい結果です． $K\equiv 0$の曲面は定曲率曲面ですから，$K\equiv 0$の曲面どうしは等長変換が 存在します．ですから，第１基本形式だけ考えるならこの曲面はただ一つでそれは平面です． それでは第２基本形式まで考える， すなわち一般の曲面で考えたとき$K\equiv 0$の曲面はどうなるかが解決したということです．たとえば， ガウス曲率が正や負の定曲率曲面は，第１基本形式だけ考えるなら球面や偽球面ですが， 第２基本形式まで考える一般の曲面で考えるならこれは難問です． もちろん回転面だけを扱うなら簡単に解決します が(等長同型4) ，一般の曲面ではガウス・コダッチの方程式より偏微分方程式の問題になり， 手の施しようのない問題ではないでしょうか．たとえば， A.グレイ Mathematica 曲線と曲面の微分幾何 トッパン に負の定曲率曲面の非回転面の例であるクエンの曲面が載っている．この例をみても 難問であることがわかる． さて，本題に入りましょう．ここで証明する命題は次です． 命題3 曲面$S$が平坦点$(L=M=N=0)$を持たないとき， $S$が可展面 $\Longleftrightarrow \ \ K\equiv 0$ が成り立つ． 証明 $(\Rightarrow)$ $S:\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$ のとき，$S$は可展面より， $\det ((\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h},(\overrightarrow{h})')=0$ 一方， $\overrightarrow{f}_u=(\overrightarrow{g})'+v(\overrightarrow{h})'$ $\overrightarrow{f}_v=\overrightarrow{h}$ $\overrightarrow{f}_{uu}=(\overrightarrow{g})"+v(\overrightarrow{h})"$ $\overrightarrow{f}_{uv}=(\overrightarrow{h})'$ $\overrightarrow{f}_{vv}=\overrightarrow{0}$ である． $D=|\overrightarrow{f}_u\times \overrightarrow{f}_v|$ とおけば，単位法線ベクトル$\overrightarrow{n}$は $\overrightarrow{n}=\dfrac{\overrightarrow{f}_u\times \overrightarrow{f}_u}{D}$ より， $M=\overrightarrow{f}_{uv}\cdot \overrightarrow{n}$ $=(\overrightarrow{h})'\cdot \dfrac{\overrightarrow{f}_u\times \overrightarrow{f}_v}{D}$ $=\dfrac{(\overrightarrow{h})'\cdot \{((\overrightarrow{g})'+v(\overrightarrow{h})') \times \overrightarrow{h}\}}{D}$ $=\dfrac{\det((\overrightarrow{h})',(\overrightarrow{g})',\overrightarrow{h})}{D}=0$ $N=\overrightarrow{f}_{vv}\cdot \overrightarrow{n}=0$ $\therefore K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=0$ $(\Leftarrow)$ 曲面$S$は$K\equiv 0$で平坦点がない． このとき，$LN-M^2=0$であるから，各点を通り漸近曲線の微分方程式 $Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=0$ をみたす曲線がただ一つ存在する． この曲線を$u$線にとれは$L=0$. $LN-M^2=0$より$M=0$.平坦点でないから$N\neq 0$. つぎに $L=\overrightarrow{f}_{uu}\cdot \overrightarrow{n}=0$より$\overrightarrow{f}_u \cdot \overrightarrow{n}_u=0$ $M=\overrightarrow{f}_{uv}\cdot \overrightarrow{n}=0$より $\overrightarrow{f}_v\cdot \overrightarrow{n}_u=0$ $\overrightarrow{n}_u$は接平面上のベクトルより$\overrightarrow{n}_u=\overrightarrow{0}$. これは$\overrightarrow{n}$は$v$だけの関数，すなわち，$u$線上($v$が一定)で 法線ベクトルは一定であることを示している．残されたことは，$u$線が直線になることである． $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}(v)$とおく． $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{f}_u=0, \overrightarrow{f}_{uv}\cdot \overrightarrow{n}=0$ である．第１式より $\overrightarrow{n}_v\cdot \overrightarrow{f}_u=0$ さらに$u$で偏微分し， $\overrightarrow{n}_v\cdot \overrightarrow{f}_{uu}=0$ を得る．したがって， $\begin{cases} \overrightarrow{f}_{uu}\cdot \overrightarrow{n}_v=0 \\ \overrightarrow{f}_{uu}\cdot \overrightarrow{n}=0 \end{cases}$ また $\begin{cases} \overrightarrow{f}_{u}\cdot \overrightarrow{n}_v=0 \\ \overrightarrow{f}_{u}\cdot \overrightarrow{n}=0 \end{cases}$ も成り立つから $\overrightarrow{f}_{uu}\parallel \overrightarrow{f}_{u}$ 空間曲線$\overrightarrow{f}(t)$の曲率$k(t)$は， $k(t)=\dfrac{|(\overrightarrow{f})'(t)\times (\overrightarrow{f})"(t)|} {|(\overrightarrow{f})'(t)|^3}$ であるから，$u$曲線の曲率は$0$，すなわち直線である． 以上で証明が終了した． $K\equiv 0$であるが可展面でない例は W,Klinerberg:A Course in Differential Geometry,Springer-Verlag の68ページにある． 平面への等長変換 微分幾何 |