§4．平面への等長変換 平坦点（$L=M=N=0$)がない曲面においては 可展面$\Longleftrightarrow K\equiv 0$ が成り立つ．一方，$K\equiv 0$の曲面は平面と局所的に等長変換が存在する．さらに 可展面は錐面，柱面，接線曲面だけである. ここでは，3種類の曲面，錐面，柱面，接線曲面それぞれについて平面との等長変換を具体的に調べる． 平面は直交座標系$(x,y)$を用いれば第１基本形式は $I=dx^2+dy^2 \ \cdots (1)$ であり，極座標系$(\rho ,\theta)$を用いれば $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ より， $dx=\cos \theta d\rho -\rho \sin \theta d\theta$ $dy\sin \theta d\rho +\rho \cos \theta d\theta$ であるから第１基本形式は $I=d\rho ^2+\rho ^2d\theta ^2 \ \cdots (2)$ である．平面との等長変換が存在することを示すには，曲面の媒介変数の取り方を変え 第１基本形式を(1)または(2)にすればよい． まず，柱面 $\overrightarrow{f}(s,v)=\overrightarrow{g}(s)+v\overrightarrow{h}_0$ からはじめよう．$\overrightarrow{h}_0$は定ベクトル． 柱面上の曲線$\overrightarrow{g}(s)$として各母線に直交するものをとる．この曲線は，微分 方程式の理論より任意の点を与えればその点を通る曲線が存在することがわかり，$s$を弧長変数とする． $(\overrightarrow{g})'(s)\cdot \overrightarrow{h}_0=0$ であり，$\overrightarrow{h}_0$として単位ベクトルをとれば $\overrightarrow{f}_s=(\overrightarrow{g})',\overrightarrow{f}_v=\overrightarrow{h}_0$ より， $I=ds^2+dv^2$ 次に，錐面 $\overrightarrow{f}(s,v)=\overrightarrow{g}_0+v\overrightarrow{h}(s)$ について考える．$\overrightarrow{g}_0$は定ベクトル． $\overrightarrow{h}(s)$は錐面の母線上の単位ベクトるとする．さらに$\overrightarrow{h}(s)$ の始点を原点としたとき，終点は球面上の曲線となるが，$s$はその弧長とする． このとき， $\overrightarrow{h}\cdot \overrightarrow{h}=1,\overrightarrow{h}\cdot \overrightarrow{h'}=0, \overrightarrow{h'}\cdot \overrightarrow{h'}=1$ が成り立つ． $\overrightarrow{f}_s=v(\overrightarrow{h})'(s), \overrightarrow{f}_v=\overrightarrow{h}(s)$ であるから，第１基本形式は $I=v^2ds^2+dv^2$ したがって，平面の極座標の第１基本形式と一致する． 以上の２つの例は予想通りであろう． 最後に接線曲面を調べよう． $\overrightarrow{f}(s,v)=\overrightarrow{g}(s)+v(\overrightarrow{g})'(s)$ とおく．ただし，$\overrightarrow{g}(s)$で$s$は弧長である． 曲線$\overrightarrow{g}(s)$の曲率を$k(s)$とおくと $(\overrightarrow{g})"(s)=k(s)\overrightarrow{\beta }(s)$ ただし，$\overrightarrow{\beta }(s)$は$(\overrightarrow{g})"(s)$と 同じ向きの単位ベクトル． $\overrightarrow{f}_s=(\overrightarrow{g})'(s)+v(\overrightarrow{g})"(s)$ $=(\overrightarrow{g})'(s)+vk(s)\overrightarrow{\beta}(s)$ $\overrightarrow{f}_v=(\overrightarrow{g})'(s)$ であるから $E=1+v^2k(s)^2,F=1,G=1$ $\therefore I=(1+v^2k(s)^2)ds^2+2dsdv+dv^2$ 曲線論の基本定理より，ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$上で，曲率$k(s)$を与えれば， 合同変換で重なる曲線は同じでと考えればただ一つの曲線が存在することが知られている． すなわち，$\mathbb{R}^2$ 上の点とその点の単位ベクトルを初期条件として与えれば，曲率が $k(s)$の平面曲線がただ一つ存在し，その曲線を$\overrightarrow{h}(s)$とおく． $\mathbb{R}^2$の曲線$\overrightarrow{h(s)}$の接線曲面 $\overrightarrow{f^{\ast}}(s,v)=\overrightarrow{h}(s)+v\overrightarrow{h'}(s)$ は，$\mathbb{R}^2$またはその一部である． $\overrightarrow{f^{\ast}}_s=(\overrightarrow{h})'(s)+v(\overrightarrow{h})"(s)$ $=(\overrightarrow{h})'(s)+vk(s)\overrightarrow{\beta ^{\ast}}(s)$ $\overrightarrow{f^{\ast}}_v=\overrightarrow{h'}(s)$ 第1基本形式は $\therefore I^{\ast}=(1+v^2k(s)^2)ds^2+2dsdv+dv^2$ したがって，接線曲面は平面またはその一部と等長変換が存在することがわかった． 包絡面 微分幾何 |