ここまで，等長同型を曲率との関係で述べてきましたが，最後にもっと基本的な ２次元ユークリッド平面間の等長変換を調べましょう． $\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2$ について，原点を原点にうつす等長変換を求めるとき，線型変換に限れば $|A\mathbf{x}|=|\mathbf{x}|,\forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^2$ より，$A$は直交変換すなわち，原点の周りの回転移動または原点を通る直線に関する対称移動に限ることが 簡単に示すことができます． それでは線型変換の条件を外すとどうなるか，すなわち，線形変換以外に 距離を保つ変換があるかどうかを調べましょう．なお微分可能性は仮定します． $\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}$ を等長変換とする $d\mathbf{F}=\begin{pmatrix}f_x\\g_x\end{pmatrix}dx+\begin{pmatrix}f_y\\g_y\end{pmatrix}dx$ であるから(ただし$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x$と偏微分は下付きの添え字で表す)，第１基本形式は $I=d\mathbf{F}\cdot d\mathbf{F}=(f_x^2+g_x^2)+2(f_xf_y+g_xg_y)dxdy+(f_y^2+g_y^2)dy^2$ したがって， $f_x^2+g_x^2=1,f_y^2+g_y^2=1,f_xf_y+g_xg_y=0$ を得る． したがって２つの場合,すなわち $\begin{cases}f_x=\cos \theta (x,y) ,& f_y=-\sin \theta (x,y)\\ g_x=\sin \theta (x,y) ,& g_y=\cos \theta (x,y)\end{cases}\cdots (\sharp)$ および $\begin{cases}f_x=\cos \theta (x,y) ,& f_y=\sin \theta (x,y)\\ g_x=\sin \theta (x,y) ,& g_y=-\cos \theta (x,y)\end{cases}\cdots (\flat)$ を調べればよい． $(\sharp)$のとき． $f_x=g_y,f_y=-g_x$ に注目する．Cauchy-Riemannの方程式を満たすので， $z=x+iy$とおき，複素関数$\phi (z)$を $\phi (z)=f(x,y)+ig(x,y)$ で定義すれば，$\phi (z)$は解析的(複素関数として微分可能)である． $\phi '(z)=f_x+ig_x=\cos \theta (x,y)+i\sin \theta (x,y)$ であるから $|\phi '(z)|=1$ したがって， 定理(Liouville) 複素関数$f(z)$が$\mathbb{C}$全域で解析的(このような関数を整関数と呼ぶ)で有界なら$f(z)$ は定数値関数である． より，$\phi '(z)$は定数値関数である．したがって， $\theta (x,y)=\theta _0$ すなわち $\phi '(z)=\cos \theta _0+i\sin \theta _0$ $\phi (z)=(\cos \theta _0+i\sin \theta _0)z+a+bi$ $z=x+iy$より $f(x,y)+ig(x,y)=(x\cos \theta _0-y\sin \theta _0 +a)+i(x\sin \theta _0+y\cos \theta _0+b)$ $f(x,y)=x\cos \theta _0-y\sin \theta _0 +a$ $g(x,y)=x\sin \theta _0+y\cos \theta _0+b$ を得る． $(\flat)$のとき． $g_x=f_y,g_y=-f_x$ より $z=x+iy$とおき，複素関数$\psi (z)$を $\psi (z)=g(x,y)+if(x,y)=i(f(x,y)-ig(x,y))$ で定義すれば，$\psi (z)$は解析的である． 新しく $\psi (z)=f(x,y)-ig(x,y)$ とおいて話を進める． $\psi '(z)=f_x-ig_x=\cos \theta (x,y)-i\sin \theta (x,y)$ であるから同様に$\psi (z)$は定数値関数で $\psi '(z)=\cos \theta _0-i\sin \theta _0$ $\psi (z)=(\cos \theta _0-i\sin \theta _0)z+a+bi$ $z=x+iy$として計算すると $f(x,y)=x\cos \theta _0+y\sin \theta _0 +a$ $g(x,y)=x\sin \theta _0-y\cos \theta _0-b$ を得る． 以上の議論より，原点を原点にうつす等長変換は直交変換に限ることがわかる． ２次元ユークリド空間間の変換 $\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ が等長変換のとき，それが線型変換になることの直接の証明は複素数を 用いなかなか面倒です． しかし，牛刀を持って鶏を割く感が否めません．つぎのように一意性を利用する方が分かり易い． 平面間の等長変換は異なる２点の像が決まれば，正の合同変換，負の合同変換１つずつ決まる． 
実際$A\mapsto A',B\mapsto B'$ のとき $P$が直線$AB$上にないとき $PA=P'A',PB=P'B',AB=A'B'$ を満たす点$P'$は２点ありそれらは $\triangle ABP$と$\triangle A'B'P'$が同じ向きと反対向きである． $Q$が直線$AB$上のとき$Q$の像$Q'$は $AQ:QP=A'Q':Q'B'$より同じ比に内分，外分する点である． したがって，原点を原点にうつす等長変換は原点以外の点$A$の像$A'$(ただし$OA=O'A'$) が決まれば正の変換，負の合同変換一つずつ決まる． 一方$\angle A'OA=\theta$とすれば，原点の周りの$\theta$回転の回転変換は条件を満たす正の合同変換で 線分$AB$の垂直２等分線に関する対称変換は条件を満たす負の合同変換である． したがって，原点を原点にうつす等長変換は原点 の周りの回転変換か原点を通る直線に関する対称変換である． 等長変換の性質から，原点を原点にうつす等長変換は線型変換である ことを導き出すこともできる． 命題1 等長変換で一直線上の３点の像は一直線上にあり３点間の比は変えない． 証明 $A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$ のとき $AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'$ である. たとえば，$B$が線分$AC$の内分点のとき $AB+BC=AC$ が成り立ち. $A'B'+B'C'=A'C'$ がなりたつ．したがって $A',B',C'$は一直線上にある． また $AB:BC=A'B':B'C'$ が成り立つ． 命題2 等長変換で直線の像は直線である． 証明 直線$l$上に２点$A,B$をとり，等長変換により $A\mapsto A',B\mapsto B'$ とする． 直線$l$上の任意の点を$P$とし $P\mapsto P'$ とすれば, $A,B,P$が一直線上にあるから，$A',B',P'$を一直線上のある．したがって，$P'$は 直線$A'B'$上にある． 逆に$P'$が直線$A'B'$上にあるとき, 直線$l$上に点$P$を $AP:PB=A'P':P'B'$ を満たすようにとる． このとき $P\mapsto P'$ である． したがって，直線$A'B'$上のすべての点は直線$l$上の点の像になっている． 命題3 等長変換で平行な２直線の像は平行な２直線である 証明 背理法で示す． 平行な２直線$l,m$の像をそれぞれ$l',m'$とする． もし$l',m'$が平行でないと仮定する．$l',m'$の交点を$P'$とする． このとき$P'$の原像$P$は$l$上にも$m$上にもあり$l,m$が交わることになり矛盾． 以上の準備で原点を原点にうつす等長変換は線型変換であることが証明できる． 定理 原点を原点にうつす等長変換 $\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ は線型変換である． 証明 $\boldsymbol{f};A(\boldsymbol{a})\mapsto A'(\boldsymbol{a'}), B(\boldsymbol{b})\mapsto B'(\boldsymbol{b'})$ とする．このとき $\boldsymbol{f}(k\boldsymbol{a})=k\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}) \ \ $ただし$k$は実数$\cdots (1)$ $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})+ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{b})\cdots (2)$ を示せばよい． $(1)$は命題１より $\boldsymbol{f}(k\boldsymbol{a})=k\boldsymbol{a}'=k\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$ 
$(2)$は，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$とおき， $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{c})=\boldsymbol{c}'$とする． $C(\boldsymbol{c}),C'(\boldsymbol{c}')$とおく． $AC\parallel OB$より$A'C'\parallel O'B'$ $BC\parallel OA$より$B'C'\parallel O'A'$ 四角形$OA'C'B'$は平行四辺形より $\boldsymbol{c}'=\boldsymbol{a}'+\boldsymbol{b}'$ したがって $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) =\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})+\boldsymbol{f}(\boldsymbol{b})$ が証明された，
原点を原点にうつす等長変換 (等長同型の項終わり) 微分幾何の目次 |