$\S5. \ $ポアンカレモデル上の幾何学(2) $\bullet$直線$C$と直線$C$に関して同じ側に2点$A,B$が与えれたとき$C$上の点で $AP+PB$を最小にする点 
ユークリッド平面と見たときの円$C$を反転円とする反転変換により$A\mapsto A'$ で$A'$を定め，さらに直線$A'B$と直線$C$の交点$P$が求める点である． 実際， $AP=A'P$ であり，さらにポアンカレモデルでも三角不等式が成り立つから，$C$上の点$Q$が$P$と異なるとき $AP+BP=A'P+BP$＜$A'Q+BQ=AQ+BQ$ 逆を成り立ち，点$P$は直線$C$を直線$XY$とすれば $\angle BPX=\angle APY$ である． 次のようにまとめることができる． 定理１ 2点$A,B$が直線$XY$に関して同じ側にあり，点$P$を直線$XY$上の点とする．このとき，次が成り立つ． $P$は$\angle BPX=\angle APY$を満たす $\Longleftrightarrow \ P$は$AP+BP$を最小にする点 
次に，点$P$が円の周上を動くときを考えよう．2点$A,B$が円$O$の外部にあるとき，点$P$が $\angle OPB=\angle OPA$＞$90^{\circ}$ を満たすとき，$P$を通り直線$OP$に直交する直線を直線$XY$とすれば， $\angle BPX=\angle APY$ が成り立つから，定理1より，点$P$は直線$XY$上の点のうち $AP+BP$ を最小にする点である． さらに，円$O$の周上の点$Q$をとり，$BQ$と$XY$の交点を$R$とすれば $AQ+BQ$＞$AR+RB$＞$AP+BP$ したがって，$P$が $AP+BP$ を最小にする点である．$AP+BP$を最大にする点も同様に扱えるがここでは扱わない． 次のようにまとめることが出来る． 定理2 2点$A,B$が円$O$の外部にあり，点$P$が円$O$の周上を動くとき， $\angle OPA =\angle OPB$＞$90^{\circ}$ を満たす点$P$が存在するなら，その点で $AP+BP$ の最小値をとる． この定理2は後で，Steiner木問題を解くときに用いられる． $\bullet$ 平行角 ポアンカレモデルで幾何学を行うとき，しばしば出てくるのは平行角である． 平行角は，ポアンカレモデル特有の概念であり慣れる必要がある． 平行角を説明する． 直線$m$と直線上$m$上にない点$A$があたえられ，$A$から直線$m$に下した垂線の足を$H$, $AH=a$ とおく． 直線$m$上に点$P$をとり，$HP\to \infty$のときの$\angle HAP$の極限値(右図でいえば$\angle BAH$)を平行角(平行線角ということもある）という．この値は $a$だけで決まり$\Pi (a)$と表す． $\Pi (a)$の値をもとめよう． 
$m$を原点を中心とする単位円，$H(0,1),AH=a$として考えればよい．このとき，$A$の座標は $A(0,e^a)$ である．$(\because a=\log \frac{OA}{OH})$ 直線$AB$の円の中心を$C$とし,その半径を$x$とおくと， $\triangle ACO$で $x^2=(x-1)^2+e^{2a}$ $\therefore x=\dfrac{e^{2a}+1}{2}$ $a$の平行角$\Pi (a)$は $\Pi (a)=\angle ACO$であるから， $\cos \Pi (a)=\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{e^{2a}-1}{e^{2a}+1}=\tanh a$ $\sin \Pi (a)=\dfrac{e^a}{x}=\dfrac{2e^a}{e^{2a}+1}=\dfrac{1}{\cosh a}$ $\tan \Pi (a)=\dfrac{e^a}{x-1}=\dfrac{2e^a}{e^{2a}-1}=\dfrac{1}{\sinh a}$ もちろん，どれか一つで十分であるが，この３式はどれもよく用いられる． 平行角を，双曲幾何の三角法で見直してみよう． 上図の$\triangle AHP$で $\angle PAH=\theta ,HP=x,AP=y$ とおくと， 余弦定理より 正弦定理より $\dfrac{\sinh x}{\sin \theta }=\sinh y$ $\therefore \dfrac{1}{\cosh a}=\dfrac{\cosh x}{\cosh y},\sin \theta =\dfrac{\sinh x}{\sinh y}$ $x \to\infty$のとき，$\theta \to \Pi (a)$および， $\dfrac{\cosh x}{\cosh y},\dfrac{\sinh x}{\sinh y}$ の極限値は一致するから $\sin \Pi (a)=\dfrac{1}{\cosh a}$ を得る． 
双曲幾何の三角法を用いるなら次のようにしてもよい．$\triangle AHP$で $\angle A=\theta ,\angle H=\dfrac{\pi}{2},\angle P=\alpha ,AH=a,AP=x$ とする． $\cosh x=\dfrac{1}{\tan \theta \tan \alpha}$ より， $\sinh a=\sinh x \sin \alpha $ $=\tanh x \cdot \dfrac{1}{\tan \theta \tan \alpha}\cdot \sin \alpha$ $=\tanh x \cdot \dfrac{\cos \alpha}{\tan \theta}$ $x \to \infty$のとき$\tanh x \to 1,\alpha \to 0$であるから， $\tan \Pi (a)=\dfrac{1}{\sinh a}$ を得る． この関係は驚くべきことです．すなわち，$\triangle AHB$は$AB,AH$は無限大です．それと有限の値$a$との関係が定義されます． この関係より，思わぬ結果が得られたりします．それは，後で述べるSteiner木問題で扱います． 
後で扱うSteiner木問題で$120^{\circ}$の平行角を用いるので，ここで計算しておく．すなわち，右図で， $AB=a,\angle ABE=120^{\circ}$ のとき， $\angle BAE=\theta$ と$a$の関係を求める． 円$AE$の中心を$D$とし， $AD=x$ とおくと， $x^2=\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+e^{2a}$ より $x=\dfrac{3e^{2a}+1}{2\sqrt{3}}$ $\therefore \cos \theta =\dfrac{3e^{2a}-1}{3e^{2a}+1},\sin \theta =\dfrac{2\sqrt{3}e^a}{3e^{2a}+1}$ 
$\bullet$１つの直線に垂直な２直線１つの直線に垂直な２直線で成り立つことを調べよう． ちなみに，この2直線はユークリッド平面の平行線で，双曲幾何における平行線の中でも特別な存在です. 直線$l$上に２点$A,B$をとり，$A,B$を通る$l$に垂直な直線をそれぞれ$m,n$とする．$m$上の点$P$から$n$に引いた 垂線の足を$H$とする． (ここで，$n$上の点$Q$で垂線を立て$m$との交点を$P$とするのは似ているがよくない．直線外の点から直線に 垂線は引けるが，立てた垂線が他の直線と交わるかどうかは分からない.) 直線$m$上の点$P$を無限遠点である$P'$に近づけたとき，$\angle ABP$は増加しながら$AB$の平行角$\alpha$に近づきます． $\sin \alpha =\dfrac{1}{\cosh AB}$ より， $BH$＜$\dfrac{1}{\cos \alpha}$ したがって，$BH$が大きくなると$H$で立てた垂線は$m$と交わらなくなります． 次に，$AB=b,BH=a$のとき$\angle APH=\theta ,PH$を$a,b$で表しましょう． すなわち， 四角形$ABHP$で $\angle A=\angle B=\angle H=\dfrac{\pi}{2},AB=b,BH=a$のとき$\angle APH=\theta ,PH=x$を$a,b$で表します． 
まず，直角三角形の辺と角の関係を調べます．$\angle C=\frac{\pi}{2}$の$\triangle ABC$で$BC=a,CA=b,AB=c$のとき， $\cosh c=\cosh a\cdot \cosh b$ $\sin A=\dfrac{\sinh a}{\sinh c}$ $\cos ^2A=1-\dfrac{\sinh^2a}{\sinh^2c}$ $=\dfrac{\cosh^2c-\cosh^2a}{\sinh^2c}=\dfrac{\cosh^2a\sinh^2b}{\sinh^2c}$ $\therefore \cos A=\dfrac{\cosh a\sinh b}{\sinh c}$ 同様に $\sin B=\dfrac{\sinh b}{\sinh c},\cos B=\dfrac{\cosh b\sinh a}{\sinh c}$ 
四角形に戻って計算しよう．$\angle PAH=\alpha ,\angle PHA=\beta$ とおくと， $\cos \theta =\cosh a\cosh b \sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta$ $=\dfrac{\cosh^2a\cosh ^2b\sinh a\sinh b-\sinh a\sinh b}{\sinh ^2c}$ $=\sinh a \sinh b$ $\sinh x=\dfrac{\sinh c\sin \alpha }{\sin \theta}$ $=\dfrac{\cosh a \sinh b}{\sin \theta}$ したがって，$PH=x$は$BH=a$が増加すれば単調に増加することがわかる． すなわち，線分$AB$の長さが２直線$m,n$間の最短の長さである． ここで，ポアンカレモデルの合同変換について述べる．なお，合同変換は等長変換と呼んでもよいが，ユークリッド平面の等長変換を合同変換と呼ぶ 習慣にしたがって，ポアンカレモデルでも合同変換と呼ぶ． 平面の合同変換では，2点の像が決まれば合同変換は２通り決まり，それは向きを保つ 合同変換（三角形の像がもとの三角形と同じ向き）と向きを逆にする 合同変換（三角形の像がもとの三角形と裏返し）であった (合同変換1). すなわち，$AB=CD$のとき $A\mapsto C;B\mapsto D$ を満たす合同変換は2通りに決まるということである． 以下，向きを保つ合同変換を正の合同変換，向きを逆にする合同変換を 負の合同変換と呼ぶ． ポアンカレモデルでも同様の議論が成り立つので，2点の像を与えれば 合同変換は２つ存在し，片方は正の合同変換でもう一方は負の合同変換である． 一方上半平面$\mathbb{H}^+$上に4点$A,B,C,D$が$AB=CD$を満たすとき $A\mapsto C;B\mapsto D$ を満たす1次分数変換 $w=\dfrac{az+b}{cz+d}, \ a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc=1$ は存在する． 実際，$A,B$を虚軸に移す1次分数変換を$f(z)$とし，さらに$C,D$を虚軸にかつ$C$の像が$f(A)$である1次分数変換を$g$とする ここで $g(D)=f(B)$ なら$g$はそのままで，もし$g(D)\neq f(B)$のとき， $w=-\dfrac{1}{z}$ と相似変換を用いて$g$を $g(C)=f(A),g(D)=f(B)$ を満たすように$g$を変え $f(z)=g(w)$ 解くことにより得られる． さらに，1次分数変換 $w=\dfrac{az+b}{cz+d}, \ (a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc=1)$ は複素数の意味での微分可能であるから， $w=\dfrac{az+b}{cz+d}, \ a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc=1$ が正の合同変換をつくしていることが分かる． 次に，負の合同変換を考える． 実軸上に中心がある円を反転円とする反転変換$I$は負の合同変換である． すでに正の合同変換は1次分数変換がつくしていることが分かっているから，反転変換と1次分数変換の合成により 負の合同変換のすべてをつくすことがわかる． 三角形の面積とガウス・ボンネの定理 |