微分幾何

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8.ガウス写像(4)

曲面

$F:f(u,v)$
が与えられればそのガウス写像

$g:F\longrightarrow S^2;f(u,v)\mapsto n(u,v)$
が定義される．ただし

$n(u,v)$ は曲面

$F$ の

$f(u,v)$ における単位法線ベクトル．

$(u,v)\mapsto n(u,v)\in S^2$
により新しい曲面が定義されるが，この曲面の第１基本形式すなわち

$III=(n_udu+n_vdv)\cdot (n_udu+n_vdv)$

$=n_u\cdot n_udu^2+2n_u\cdot n_vdudv+n_v\cdot n_vdv^2$
ここで，

$n_u\cdot n_u=P,n_u\cdot n_v=Q,n_v\cdot n_v=R$ とおけば

$=Pdu^2+2Qdudv+Rdv^2$
となる．この2次の微分式を，曲面

$F$ の第３基本形式といい，

$P,Q,R$ を第３基本量という．

次の章で示すことであるが，曲面は第１，第２基本形式で完全にきまる．したがって，第３基本量は，第１基本量

$E,F,G,$ 第２基本量

$L,M,N$ で表せる，言い方を変えれば，第３基本形式は第１基本形式と第２基本形式で表せるはずである．それを示したものが次の命題である．

命題6
曲面の第１基本形式

$I$ ,第２基本形式

$II$ ,第３基本形式

$III$ はつぎの等式を満たす．

$III-2HII+KI=0$
ただし，

$K$ はガウス曲率，

$H$ は平均曲率である．
証明
第１基本形式，第２基本形式は座標の取り方によらないことが示されており，さらに第３基本形式も曲面

$n(u,v)$ の第１基本形式であるから座標の取り方によらない．したがって，計算しやすい座標で証明すればよい．
曲面を扱うとき計算しやすい座標は測地線のところで学ぶ測地座標か曲率線座標である．ここでは曲率線座標で考える．
曲率線座標とは，座標曲線の接方向が常に主方向である曲面の媒介変数表示である．
この座標表示で，第１，第２，第３基本形式を表すと

$I=Edu^2+Gdu^2$

$II=\alpha Edu^2+\beta Gdv^2$

$III=\alpha ^2Edu^2+\beta ^2Gdv^2$
である．ただし，

$\alpha ,\beta$ は主曲率．これは，すでに示した
曲率線座標　

$\Leftrightarrow F=0,M=0$
より，

$L=\alpha E,N=\beta G,$
さらに，

$n_u=-\alpha f_u,n_v=-\beta n_v$
より分かる．
したがって，

$2HII-K$

$=(\alpha +\beta )(\alpha Edu^2+\beta Gdv^2)-\alpha \beta (Edu^2+Gdu^2)$

$=\alpha ^2Edu^2+\beta ^2Gdv^2$

$=III$

最後に，ガウス写像の応用として平行曲面のガウス曲率，平均曲率を計算しよう．

定義
曲面

$F:f(u,v)$
と実数の定数

$a$ に対して定まる曲面

$F':f(u,v)+an(u,v)$
を

$F$ の平行曲面という．ただし，

$n(u,v)$ は

$F$ の単位法線ベクトル．

命題7
曲面

$F:f(u,v)$ のガウス曲率

$K$ ,平均曲率

$H$ であるとき，曲面

$F$ の平行曲面

$F':f(u,v)+an(u,v)$
のガウス曲率

$K'$ ,平均曲率

$H'$ は

$K'=\dfrac{K}{1-2aH+a^2K}$

$H'=\dfrac{H-aK}{1-2aH+a^2K}$
である．
証明
等式に現れる，ガウス曲率，平均曲率は曲面上の点の固有な値（これを幾何学量という），言い方を変えれば座標変数の取り方によらない．したがって，扱いやすい曲率線座標で考える．
すなわち，

$u$ 線，

$v$ 線の接方向が主方向で，それぞれの主曲率を

$k_1,k_2$ とする．
ここで，

$n_u=-k_1f_u,n_v=-k_2f_v\cdots (1)$
を満たすことに注意する．
平行曲面

$f'(u,v)$ は

$f'(u,v)=f(u,v)+an(u,v)$
であるから，

$f'_u=f_u+an_u=(1-ak_1)f_u,f'_v=f_v+an_v=(1-ak_2)f_v\cdots (2)$

$f'_u\parallel f_u,f'_v\parallel f_v$
(ただし

$\parallel$ は平行の意味)
より，曲面

$F,F'$ の法線ベクトルは平行であるから，単位法線ベクトルは同じとしてよい．すなわち

$n'(u,v)=n(u,v)$
したがって，

$n'_u=n_u,n'_v=n_v \cdots (3)$
(1),(2),(3)より

$f'_u=(1-ak_1)f_u=\dfrac{1-ak_1}{-k_1}n_u=\dfrac{1-ak_1}{-k_1}n'_u$

$f'_v=(1-ak_2)f_v=\dfrac{1-ak_2}{-k_2}n_v=\dfrac{1-ak_2}{-k_2}n'_v$
であり，曲面

$F'$ において

$u$ 線

$v$ 線は曲率線であることが分かる（下に説明がある）．

$-n'_u=\dfrac{k_1}{1-ak_1}f'_u,-n'_v=\dfrac{k_2}{1-ak_2}f'_v$
であるから，曲面

$F'$ の主曲率

$k'_1,k'_2$ は

$k'_1=\dfrac{k_1}{1-ak_1},k'_2=\dfrac{k_2}{1-ak_2}$

$\therefore K'=k'_1k'_2=\dfrac{K}{1-2Ha+Ka^2}$

$H'=\dfrac{k'_1+k'_2}{2}=\dfrac{H-aK}{1-2aH+a^2K}$

命題の証明の中で，

命題8
互いに平行な曲面において，曲率線は対応しあう．

が証明されている．

また，証明の中で次の性質が使われている．

命題9
曲面上の曲線

$f(u(t),v(t))$ が曲率線であるための必要十分条件は

$\dfrac{dn(u(t,v(t)))}{dt}\parallel \dfrac{df(u(t,v(t)))}{dt}$
である．
証明
ワインガルテン写像を用いるとわかりやすい．
曲線

$f(u(t),v(t))$ が曲率線のとき，

$W\left(\dfrac{df(u(t,v(t)))}{dt}\right)\parallel \left(\dfrac{df(u(t,v(t)))}{dt}\right)$
一方，一般の曲線

$f(u(t),v(t))$ に対して，

$W\left(\dfrac{df(u(t,v(t)))}{dt}\right)=-\dfrac{dn(u(t,v(t)))}{dt}$
より命題が成り立つことが分かる．

定曲率

$\dfrac{1}{a^2}$ の曲面

$F$ に対して

$F$ から

$\pm a$ だけ離れた曲面の平均曲率を求めよう．

$K=\dfrac{1}{a^2}$ および

$a$ に

$\pm a$
を代入し

$H'=\dfrac{H-(\pm a)\dfrac{1}{a^2}}{1-2(\pm a)H+a^2\cdot \dfrac{1}{a^2}}$

$=\mp \dfrac{1}{2a}$
である．すなわち

$H'$ は平均曲率が一定の曲面である．
定曲率曲面は，第１基本形式だけ考える幾何ではただ一つですが，第２基本形式まで考える，言い方を変えれば一般の曲面ではたくさんあります(等長同型4).球面以外より平行曲面による得られる平均曲率一定の曲面は，扱いやすく（曲面の表示がシンプル）注目すべき曲面だと思う．
なお，この節のさらに深い内容は
大槻富之助著　微分幾何学　朝倉書店
§20 中心曲面と平行曲面
にある，あわせて参考にしていただきたい．
また，平均曲率一定の曲面は
Stefan Hildebrandt,Anthony Tromba 著　形の法則　東京化学同人
にあり，ガウス写像とワインガルテン写像は
J,A.ソープ著　微分幾何の基本概念　Springer
にn次元曲面に関しての優れた解説ある．

　

(ガウス写像の項目終わり)

．

続く

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