フレネの公式を利用して，曲線上の点の周辺での曲線の状況を調べます． 各点で$\boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\beta}$，$\boldsymbol{\gamma}$が定義されるので，$\boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\beta}$，$\boldsymbol{\gamma}$をそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸と新しく座標軸に とり，曲線の状況を調べようというのです． 使う公式は，フレネの公式 $\boldsymbol{\alpha}'=k\boldsymbol{\beta}$ $\boldsymbol{\beta} '=-k\boldsymbol{\alpha}+\tau \boldsymbol{\gamma}$ $\boldsymbol{\gamma} '=-\tau \boldsymbol{\beta}$ です． $s=0$の近くで曲線$\boldsymbol{f}(s)$を調べます． 曲線$\boldsymbol{f}(s)$について，$s=0$の周りでテイラー展開し， $s$の4次以降を無視し，３次までの近似式を考える． $\boldsymbol{f}(s)-\boldsymbol{f}(0)$ $\fallingdotseq (\boldsymbol{f})'(0)s+\dfrac{(\boldsymbol{f})''(0)s^2}{2} +\dfrac{(\boldsymbol{f})'''(0)s^3}{6}$ ここで， $\boldsymbol{f}'(s)=\boldsymbol{\alpha} (s)$ $\boldsymbol{f}''(s)=k(s)\boldsymbol{\beta }(s)$ $\boldsymbol{f}'''(s)=k'(s)\boldsymbol{\beta }(s)+k(s)(-k(s)\boldsymbol{\alpha }(s) +\tau (s)\boldsymbol{\gamma }(s))$ より $\boldsymbol{f}'(0)=\boldsymbol{\alpha}_0$ $\boldsymbol{f}''(0)=k_0\boldsymbol{\beta}_0 $ $\boldsymbol{f}'''(0)=-k_0^2\boldsymbol{\alpha}_0 +k_0'\boldsymbol{\beta}_0 +k_0\tau _0\boldsymbol{\gamma}_0$ とおくと， $\boldsymbol{f}(s)-\boldsymbol{f}(0)$ $\fallingdotseq s\boldsymbol{\alpha}_0 +\dfrac{k_0\boldsymbol{\beta}_0s^2}{2} +\dfrac{(-k^2 \boldsymbol{\alpha}_0 +k_0'\boldsymbol{\beta}_0+k_0\tau _0\boldsymbol{\gamma}_0 )s^3}{6}$ $=(s+\dfrac{-k_0^2s^3}{6})\boldsymbol{\alpha}_0 +(\dfrac{k_0s^2}{2}+\dfrac{k_0's^3}{6})\boldsymbol{\beta}_0 +\dfrac{k_0\tau _0s^3}{6}\boldsymbol{\gamma}_0$ $\boldsymbol{f}(0)$を原点，$\boldsymbol{\alpha}_0$，$\boldsymbol{\beta}_0$，$\boldsymbol{\gamma}_0$ を新しい座標軸とし，その座標を$(x,y,z)$とすると $\boldsymbol{f}(s)$の近似曲線 $\begin{cases} x(s)=s-\dfrac{k_0^2s^3}{6}\\ y(s)=\dfrac{k_0s^2}{2}+\dfrac{k_0's^3}{6}\\ z(s)=\dfrac{k_0\tau _0s^3}{6} \end{cases}$ を得る．なお，$k_0,\tau_0$は$s=0$における曲率，捩率で，$k_0'$は$k'(0)$のこと． さらに，$s$が十分小の範囲で考えるので，$s$の一番次数の低い項だけに注目すると $\begin{cases} x(s)=s\\ y(s)=\dfrac{k_0s^2}{2}\\ z(s)=\dfrac{k_0\tau _0s^3}{6} \end{cases} \cdots (\sharp) $ となります．この式を曲線のブーケー(Bouquet)の公式といいます． ブーケーの公式は与えられた曲線の近似曲線です． なお，この曲線表示で$s$は弧長ではありません． 次に，この曲線は$s$の次数の低い項で作ったものですが，この曲線の$s=0$における 曲率，捩率がそれぞれ$k_0,\tau_0$でなければ近似曲線とは言えません．なぜなら， 次の章で説明することですが，空間曲線は曲率と捩率で決まるからです．すなわち，曲率，捩率は 曲線を決定つける重要な値です． $(x'(0),y'(0),z'(0))=(1,0,0)$, $(x''(0),y''(0),z''(0))=(0,k_0,0)$, $(x'''(0),y'''(0),z'''(0))=(0,0,k_0\tau_0)$ である.一般の媒介変数で表示された曲線$\boldsymbol{f}(t)$の曲率，捩率はそれぞれ $k(t)=\dfrac{|(\boldsymbol{f})'(t) \times (\boldsymbol{f})''(t)|}{|(\boldsymbol{f})'(t)|^3}, \tau (t)=\dfrac{((\boldsymbol{f})'(t)\times (\boldsymbol{f})''(t))\cdot (\boldsymbol{f})'''(t)}{|\boldsymbol{f}'(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|^2}$ であるから，曲率，捩率がそれぞれ$k_0,\tau_0$であることがわかる． このことから，ブーケーの公式は簡単な近似曲線の一つであることがわかる． ブーケーの公式を用いて，捩率の意味を理解しよう． 捩率$\tau (s)$は $\boldsymbol{\gamma} '(s)=-\tau (s)\boldsymbol{\beta} $ 定義される．すなわち $|\tau (s)|=|\boldsymbol{\gamma} '(s)|$ $\boldsymbol{\gamma} (s)$は接触平面($\boldsymbol{\alpha} , \boldsymbol{\beta}$の決める平面)の法線ベクトルで， 点が曲線上を動くとき，その点の接触平面の変化が大きいほど捩率の絶対値も大きくなる． 通常は「曲線が接触平面から離れる度合いを表す量」と説明している． それをブーケーの公式を用いて説明する．  $\begin{cases} x(s)=s\\ y(s)=\dfrac{ks^2}{2}\\ z(s)=\dfrac{k\tau s^3}{6} \end{cases} $ の$k=1,\tau =1,-2\leqq s\leqq 2$のグラフが右の図である． この曲線は $\alpha =(1,0,0),\beta =(0,1,0),\gamma =(0,0,1)$ であり，接触平面が$xy$平面，法平面が$yz$平面，展直平面が$zx$平面です． まず，曲線は原点で，法平面は垂直に，接触平面は接して超えていきますが， 展直平面に関しては $y\geqq 0$より接して同じ側にとどまります． 次の注意点は$\tau$の符号によって，$s$が増加するにつれて接触平面を下から上に 超えていくとき $\tau > 0$のとき右巻きすなわち右ねじが$\alpha \times \beta$の方向に進むときの回転方向に進む． $\tau < 0$のとき左巻きすなわち左ねじが$\alpha \times \beta$の方向に進むときの回転方向に進む． $\tau$の符号は，このような図形的意味を持つように定められたのです． $z(s)=\frac{k\tau s^3}{6}$であるから$\tau $(捩率)が大きくなると， 接触平面($xy$平面)から離れる度合いが増すのがわかると思います． 
捩率の正負の意味を理解するだけなら，円柱らせんがわかりやすい．右の図は円柱らせん$x=a\cos t,y=a\sin t,z=bt$ の $-\pi/2 \leqq t \leqq \pi/2$ における， $a=1,b=\frac{1}{3}$(青色),および$a=1,b=-\frac{1}{3}$(茶色)の図です． この円柱らせんの曲率$k$, 捩率$\tau$は $k=a/(a^2+b^2),\tau =b/(a^2+b^2)$ すなわち，$\tau$の符号と$b$の符号が一致します． わかりやすく言うなら，$xy$平面上に円があり，この円上を正の向きに回転するとき $z$軸の正の方向に進む円柱らせんの曲がり方 (上で述べた右巻き)が捩率正の意味です． 円柱らせんでは少し注意が必要です．それは$b$が大きくなれば捩率が大きくなるとは限らないことです． 実際 $f(b)=\dfrac{b}{a^2+b^2}$ とおくと $\displaystyle \lim_{b\to \pm \infty}f(b)=0$ よりも分かるし， $f'(b)=\dfrac{(a+b)(a-b)}{(a^2+b^2)}$ からも分かる．これは，$b$が変わるとともに，接触平面も変わるからです．ですから， 捩率が正負の説明には適切であるが，本来の捩率の意味の接触平面から離れる度合いの説明にはあまり適していません． 7.曲線の基本定理 微分幾何の目次 |