次に，空間における曲線が一つの平面に含まれる(この曲線を平面曲線と呼ぶ)ための条件を求めよう． 命題 逗留点を持たない空間における曲線$\boldsymbol{f}(t)$すなわち， $\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)\not\equiv \boldsymbol{0}$ を満たす曲線が一つの平面に含まれるための必要十分条件は ３つのベクトル$\boldsymbol{f'}(t), \boldsymbol{f''}(t),\boldsymbol{f'''}(t)$ を１列に並べることにより得られる行列式が $|\boldsymbol{f}'(t) \ \ \boldsymbol{f}''(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t)|\equiv 0$ である． 証明 $(\Longrightarrow)$ $\boldsymbol{f}(t+\Delta t)-\boldsymbol{f}(t)$ が$\Delta t$にかかわらず１つの平面上にあれば，その極限も同じ平面上にあるから， $\boldsymbol{f}'(t)$は同一平面上にあり同様の議論で$\boldsymbol{f}''(t),\boldsymbol{f}'''(t)$ も同一平面上にある． したがって $|\boldsymbol{f}'(t) \ \ \boldsymbol{f}''(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t)|\equiv 0$ $（\Longleftarrow）$ $|\boldsymbol{f}'(t) \ \boldsymbol{f}''(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t)|\equiv 0$のとき $\boldsymbol{f}'''(t)＝a(t)\boldsymbol{f}'(t)＋b(t)\boldsymbol{f}''(t)$・・・@ とおく． ここで， $\boldsymbol{f}'(t) \times \boldsymbol{f}''(t)＝\boldsymbol{n}(t)$・・・A とおくと， $\boldsymbol{n'}(t)＝\boldsymbol{f}'(t) \times \boldsymbol{f}'''(t) =\boldsymbol{f}'(t)\times b(t)\boldsymbol{f}''(t)$・・・B A，Bより $\boldsymbol{n'}\parallel \boldsymbol{n}$ したがって，$\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)$の向きが一定であることが分かった． (この証明は後で行う) したがって，$\boldsymbol{f'}(t)$は固定平面に平行であるあるから，曲線$\boldsymbol{f}(t)$は平面曲線である． 補助命題 $\boldsymbol{n}(t)(\not\equiv \boldsymbol{0})$について次が成り立つ． $\boldsymbol{n}(t)\times \boldsymbol{n'}(t)=\boldsymbol{0} \Longleftrightarrow \boldsymbol{n}(t)$の向きは固定されている 証明 $\boldsymbol{n}(t)$と同じ向きの単位ベクトルを$\boldsymbol{e}(t)$とおき， $\boldsymbol{n}(t)=p(t)\boldsymbol{e}(t)$ によって，$t$の関数$p(t)$を定める． $(\Longrightarrow)$ $\boldsymbol{n'}(t)＝p'(t) \boldsymbol{e}(t)+p(t)\boldsymbol{e'}(t)$ $\boldsymbol{0}=\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{n'}$ $=p(t)^2\boldsymbol{e}(t) \times \boldsymbol{e'}(t)$ $p(t)^2\not\equiv 0$より $\boldsymbol{e} \times \boldsymbol{e'}=\boldsymbol{0}$ さらにLagrangeの等式より $|\boldsymbol{e}(t)\times \boldsymbol{e'}(t)|^2$ $=|\boldsymbol{e}(t)|^2|\boldsymbol{e'}(t)|^2-(\boldsymbol{e}(t)\cdot \boldsymbol{e'}(t))^2$ $=|\boldsymbol{e'}(t)|^2$ $\because \ |\boldsymbol{e}(t)|=1$より$\boldsymbol{e}(t)\cdot \boldsymbol{e'}(t)=0$ $\therefore \boldsymbol{e'}(t)=\boldsymbol{0}$ したがって，$\boldsymbol{e}(t)$は一定の向きである． $(\Longleftarrow)$ $\boldsymbol{n}(t)$が一定の向きのとき， $\boldsymbol{n}(t)＝p(t) \boldsymbol{e}$ と表せるから， $\boldsymbol{n'}(t)＝p'(t) \boldsymbol{e}$ より $\boldsymbol{n}(t)\times \boldsymbol{n'}(t)=\boldsymbol{0}$ が成り立つ． 最後に，自然媒介変数（弧長を媒介変数）曲線で弧長を逆向きに取ったときを調べよう． 新しい弧長$s_1$を $s_1=-s+a$ とします． $s_1$を弧長としたときの，$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$に対応するベクトルを$\boldsymbol{\alpha} _1,\boldsymbol{\beta} _1,\boldsymbol{\gamma} _1$とします． このとき $\boldsymbol{\alpha} _1(s_1)=\boldsymbol{f'}(s)\dfrac{ds}{ds_1}=-\boldsymbol{\alpha} (s)$ $\boldsymbol{f}''(s)=\boldsymbol{f}''(s_1)$ より $\boldsymbol{\beta} (s)=\boldsymbol{\beta} _1(s_1)$ また， $\boldsymbol{\gamma} _1=\boldsymbol{\alpha} _1 \times \boldsymbol{\beta} _1=-\boldsymbol{\gamma}$ したがって，$\boldsymbol{\alpha} _1,\boldsymbol{\gamma} _1$は向きが反対になるが，$\boldsymbol{\beta} _1$は一致する． すなわち，弧長のはかり方を逆にしても加速度ベクトルだけは変わりません． 実際，くぼんでいるほうを向いています． 次に$\boldsymbol{\beta}$の図形的意味を考えます． 4.曲率とその意味 微分幾何の目次 |