$\S12. \ $合同変換 ここで話を非ユークリッド幾何のポアンカレモデルに戻りましょう． ポアンカレモデルは，上半平面 $\mathbb{H}^+=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y > 0\}$ において，第１基本形式が $I=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ の空間です． ここでは$a=1$すなわち $I=\dfrac{(dx^2+dy^2)}{y^2}$ としています． 以下，ポアンカレモデルは複素平面で考えます．すなわち $\mathbb{H}^+=\{z\in \mathbb{C}|\mathrm{Im}z > 0\}$ とします．  ポアンカレモデルにおいて，2点間$P(z_1),Q(z_2)$の距離$d(P,Q)$は， 実軸上に中心を持つ$P,Q$を通る円(これが，ポアンカレモデルにおける測地線) と実軸との交点を$A(a),B(b)$とすれば $d(P,Q)=\log |(z_1,z_2;a,b)|$ です． なお，以下$P(z),Q(w)\in \mathbb{H}^+$に対し，ポアンカレモデルとしての距離は$d(P,Q)$を用い，複素平面として の距離は$|z-w|$を用います． 複素平面の上半平面を上半平面にうつす１次分数変換は $w=f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} \ \ (a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc > 0) \cdots (\sharp)$ であった． １次分数変換は複比を保ちすなわち $(f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4))=(z_1,z_2;z_3,z_4)$ が成り立ち， $f$が$(\sharp)$のとき， 実軸上に中心のある円の像は実軸上に中心のある円である． 実際$z$を通る実軸上に中心を持つ円$C$は$\bar{z}$を通る． $f(C)$は$f(z),f(\bar{z})=\overline{f(z)}$を通るから中心は実軸上のある． これらのことより，１次分数変換$(\sharp)$はポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$の等長変換であることがわかる． 等長変換はこれで尽くされるか，すなわち他にないかについて考えます． 等長変換をユークリッド幾何においては合同変換といいます．それにならい，ここでは，ポアンカレモデルの等長変換を合同変換ということにします． 先ず，ユークリッド平面おける合同変換の取り扱いを見てみましょう． 合同変換の土台になるのは次の定理です．  定理 平面上に２つの線分$AB,A'B'$があり$AB=A'B'$のとき． $A \mapsto A',B \mapsto B'$ である合同変換は２つ存在して，片方は正の合同変換でもう 一方は負の合同変換である． これは，$A,B$の像$A',B'$が与えられれば，平面上の任意の点$P$に対して， $\bullet P$が直線$AB$上でないとき $A'$を中心とする半径$AP$の円と$B'$を中心とする半径$BP$の円の交点は ２つあり$P$の像はそのいずれかである． $\triangle ABP$と$\triangle A'B'P'$を考えたとき $ABP$のまわり方と$A'B'P'$のまわり方が同じ場合と反対の場合がある． 同じ向きに回る場合を正の合同変換または第１種の合同変換，反対向きに回る場合を 負の合同変換または第２種の合同変換という． $\bullet P$が直線$AB$上のとき $P'$は$P$と同じ比に内分または外分する点でこの時はただ一つに定まる． 以上はユークリッド平面における議論であるが，それをポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$ に持ち込めばよい． 気になるのは，定理の証明の中で用いた， 1.2円が交わる根拠である，３点$A,B,C$が同一直線上にないとき $d(A,B)+d(B,C) > d(A,C)$ 2.異なる２円が交わるとき３点で交わることがないのか の２点である． ポアンカレモデルはユークリッド原論の第１公準から第４公準までを満たし，原論は多くの命題すなわち命題１から命題２８までが 第４公準までで証明されている．三角不等式は命題２０である．当然，ポアンカレモデルでも三角不等式は成り立つことになる． 2は３点で交われば２つの円が一致するので，このことは起こらない． ポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$でも，2組の等距離の２点が与えられれば， 合同変換は２つ定まり，それは 正の合同変換と負の合同変換であることが分かりました． １次分数変換は微分可能であるから，必ず正の変換です． まず，1次分数変換が正の合同変換をつくすことを解決しましょう． $A,B$及び$A',B'$が$d(A,B)=d(A',B')$の時， $w=f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} \ \ (a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc > 0)\cdots (\sharp)$ の要素で $f(A)=A',f(B)=B'$ を満たすものが存在すれば解決します． 実際に条件を満たす１次分数変換を構成しよう． 1.$w=z+a \ (a\in \mathbb{R})$で$A,B$を通る実軸に中心をもつ半円を原点を中心とする半円にうつす． 2.$w=bz \ (b > 0)$で１で得た半円を半径$1$にする． 3,$w=-\dfrac{z+1}{z-1}$で２で得た半円を上半虚軸にうつす． 1,2,3の合成を$f(z)$する． 次に，同様に$A',B'$も上半虚軸にうつる１次分数変換を求めそれを$g(z)$とする． 4.$f(A),f(B)$の虚部の大小と$g(A'),g(B')$の虚部の大小が一致すればそのまま， 反対なら，虚部の大小を反対にする $w=-\dfrac{1}{z};ki\mapsto \dfrac{i}{k}$ をどちらかに合成し，大小を一致させる． 5.最後に$w=cz \ (c > 0)$で$A$の像と$A'$の像を一致させる． このとき，もともと$d(A,B)=d(A',B')$であるから$B$の像と$B'$の像も一致する． ここで用いた写像はすべて１次分数変換であるから， $A\mapsto A',B\mapsto B'$ となる１次分数変換が存在することが分かった． したがって，ポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$の正の合同変換は $w=\dfrac{az+b}{cz+d}, \ \ (a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc > 0) \cdots (\sharp)$ でつくされることが分かった． 次に，負の合同変換を考えよう．それは，反転変換を利用する．どの反転変換を用いてもよいが，ここでは 虚軸に関する対称移動である $h(z)=-\dfrac{1}{\bar{z}}$ を利用する． $d(A,B)=d(A',B')$のとき $h(A)\mapsto A',h(B)\mapsto B'$ を満たす正の合同変換を$f$とすれば $f\circ h:A\mapsto A',B\mapsto B'$ したがって， $\left \{f\circ h\Big|h(z)=-\dfrac{1}{\bar{z}},f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} \ \ (a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc > 0)\right \}$ がポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$の負の合同変換である． ポアンカレモデルにおける円は，合同変換を用いるとすっきり理解できる． $a\in \mathbb{H}^+$とし，$a$を不動点とする合同変換を考える．ちなみに，ユークリッド平面で考えると$a$の周りの回転に対応する． $a$が不動点なら$\bar{a}$も不動点であるから $\dfrac{w-a}{w-\bar{a}}=k\dfrac{z-a}{z-\bar{a}} \ \ (k\in \mathbb{C})$ と表せる． さらに，$z$が実数の時$w$も実数であるから $|k|=1$ したがって，$a$が不動点の合同変換は $\dfrac{w-a}{w-\bar{a}}=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{z-\bar{a}}$ $a$とは異なる点$z=z_0$を固定し，この時の$w$の軌跡を求めよう． $d(w,a)=d(z_0,a)$ であるから，この軌跡がポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$における$a$を中心とする半径$d(a,z_0)$の円です． 求める図形は $\dfrac{|w-a|}{|w-\bar{a}|}=\dfrac{|z_0-a|}{|z_0-\bar{a}|}$ より $|w-a|:|w-\bar{a}|=|z_0-a|:|z_0-\bar{a}|$ これは，アポロニウスの円である．すなわち$w$の軌跡は $A(a),B(\bar{a})$とすれば，$AB$を$|z_0-a|:|z_0-\bar{a}|$に内分する点， 外分する点を直径とする円である．なお，$A,B$を$m:n$に内分する点，外分する点を直径とする円について，$A,B$をこの円の限点と呼ぶことにする．なお， 限点は共軸円系の用語で，アポロニウスの円で用いられるかどうかは知らない． ここで$a$が不動点の合同変換 $\dfrac{w-a}{w-\bar{a}}=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{z-\bar{a}}$ を視覚的にとらえよう． まず， $w=\dfrac{z-a}{z-\bar{a}}$ を考える．これは $a\mapsto 0,\bar{a}\mapsto \infty$ であるから，$w$平面の原点を通る直線の原像は，$a,\bar{a}$を通る円であり， $w$平面の原点を中心とする円の原像は$a,\bar{a}$が限点のアポロニウスの円である．  $z$平面上の図形が$w$平面上の同じ色の図形に移ります． たとえば，$A,B$が限点で$AP:BP=1:2$のアポロニウスの円が原点を中心とする半径$\frac{1}{2}$に移ります(赤色)． $A,B$が限点であるアポロニウスの円が原点を中心とする円にうつり，$A,B$を通る円が 原点を通る直線に移ります． この図から，$a$が不動点である１次分数変換 $z\mapsto w;\dfrac{w-a}{w-\bar{a}}=e^{i\theta}\dfrac{(z-a)}{z-\bar{a}}$ が視覚的にとらえられます． すなわち，上の図示した写像で写し，$\theta$だけ回転し，同じ写像で戻したものです． アポロニウスの円上の点はその円上を動き，円全体としてみれば不動円になっています． これで，ポアンカレモデルにおける$A$を中心とする円は，$A,B$を限点とするアポロニウスの円であることが分かり， ポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$の円がすっきり理解 できたのではないでしょうか.  ここで用いた円を利用してポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$を見直しましょう． $a\in \mathbb{H}^+$とし，$A(a),B(\bar{a})$とする． $A,B$を通る円を$C_1$,$A,B$を限点とするアポロニウスの円を$C_2$とし， このような 円$C_1,C_2$全体の作る図形(円の網)の性質について調べよう． 1. $A$以外の任意の点$P$に対して，その点を通る，$C_1,C_2$がそれぞれただ一つずつある． 2. $C_1$と$C_2$は直交する．$(w=\frac{z-a}{z-\bar{a}}$でうつした図形をみるとわかりやすい$)$. 1,2より，これらの円の網はユークリッド平面の極座標に対応することがわかる． 3. 点$A$を動かさない合同変換で，$C_2$は同じ円にうつり(不動円)，$C_1$は別の$C_1$にうつる． 4. 円$C_2$の限点である$A,B$は円$C_2$に関して対称である．$(w=\frac{z-a}{z-\bar{a}}$でうつした図形をみるとわかりやすい$)$ 4より，$C_2$を反転円とする反転変換で$A\mapsto B$であるから2が当然成り立つ． さらに，図で$OA,OB,OC,OD$は各円$C_2$の接線である．これらは同じ円の半径であるから 実軸は各円$C_2$の根軸（方べきが等しい点の軌跡）であり，実軸が根軸である共軸円系をなしている． さて，１次分数変換の不動点は１点だけのときもある．この場合の状況も調べよう． １次分数変換で$a\mapsto \infty$であるのは，$a$と異なる$b,c$を任意にとり $(a,b,c)\mapsto (\infty ,0,1)$ より $w=\dfrac{c-a}{c-b}\cdot \dfrac{z-b}{z-a}=\dfrac{c-a}{c-b}\left(1+\dfrac{a-b}{z-a}\right)$ より $w=\dfrac{k}{z-a}+l \ (k,l\in \mathbb{C})$ と表せる．したがって，$a$が不動点の１次分数変換は $\dfrac{k_1}{w-a}=\dfrac{k_2}{z-a}+l , \ \ (k_1,k_2,l\in \mathbb{C})$ となる． さらに，不動点が$a$だけの１次分数変換は$k_1=k_2$で $\dfrac{k}{w-a}=\dfrac{k}{z-a}+l, \ \ (k,l\in \mathbb{C})$ となる．$(\because k_1\neq k_2$のとき，$a$以外に不動点が存在する$)$. さらに両辺を$k$で割って $\dfrac{1}{w-a}=\dfrac{1}{z-a}+l , \ \ (l\in \mathbb{C})$ となる． 今考えているのはポアンカレモデルの正の合同変換 $w=f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \ \ (a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc > 0)$ で，ただ一つの不動点は実数であるから $\dfrac{1}{w-a}=\dfrac{1}{z-a}+l \ (l\in \mathbb{R})$ を考えればよい． これは直接導き出すこともできる． 実際 $w=\dfrac{az+b}{cz+d} ,\ \ (a,b,c,d\in \mathbb{R})$で 方程式 $z=\dfrac{az+b}{cz+d}$ すなわち $cz^2+(d-a)z-b=0$ が重解を持つとき， $D=(d-a)^2+bc=(a+d)^2-4(ad-bc)=0$ 重解を$\alpha$とする.当然$\alpha $は実数．解と係数の関係より $2\alpha =\dfrac{a-d}{c},\alpha ^2=-\dfrac{b}{c}$ $w-\alpha =\dfrac{az+b}{cz+d}-\dfrac{a\alpha +b}{c\alpha +d} =\dfrac{(ad-bc)(z-\alpha)}{(cz+d)(c\alpha +d)}$ $=\dfrac{(ad-bc)(z-\alpha)}{\{c(z-\alpha)+(c\alpha +d)\}(c\alpha +d)}$ ここで， $ad-bc=\dfrac{(a+d)^2}{4},c\alpha +d=\dfrac{a+d}{2}$ であるから，逆数をとれば $\dfrac{1}{w-\alpha}=\dfrac{1}{z-\alpha}+\dfrac{c(a+d)}{2(ad-bc)}$ ポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$における $\dfrac{1}{w-a}=\dfrac{1}{z-a}+l , \ \ (l\in \mathbb{R})$ を視覚的にとらえよう． 先ず， $w=\dfrac{1}{z-a}$ を考える. $a\mapsto \infty$であるから $A(a)$を通る直線や円は直線に写り，実軸は実軸，$A$を通る虚軸に平行な直線は虚軸にうつる． したがって，$A$で実軸に接する円(この円を$C_1$とする)は実軸に平行な直線に，$A$を通り虚軸に平行な直線に$A$で接する円(この円を$C_2$とする) は虚軸に平行な直線にうつる． この対応は次のようになる．  $\dfrac{1}{w-a}=\dfrac{1}{z-a}+l \ (l\in \mathbb{R})$ は $w=\dfrac{1}{z-a}\cdots (\sharp)$ によって，$z$平面を$w$平面にうつし，さらに$l$(実数)だけ平行移動し， さらに$(\sharp)$によって戻すことにより得られます． したがって，この写像により，実軸に接する円は不動円， $A$を通る虚軸に平行な直線に$A$で接する円$C_2$は別の$C_2$にうつります． ポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$において，実軸に接する円は，接点が中心である半径$\infty$の円です． 中心$O$と点$A$を与えれば，$O$を中心とする$A$を通る円は必ず存在して(ユークリッド公準３)，中心があれば，どんな半径でも円が 存在しますが，上半平面に３点が与えられたとき， その３点を通る円が上半平面に含まれるとは限らないので， ３点を通る円が存在するとは言えない． したがって，第１公準から第４公準では同一直線上にない ３点を通る円が存在することは証明できない． 
右図はポアンカレモデルにおける$\triangle ABC$の外接円の作図です．$AB$の垂直二等分線と$AC$の垂直二等分線は平行でないが交わるとはいえない． 必ず交わるためには第５公準が必要であるということです． 同一直線上にない３点を通る円が必ず存在する は平行線の公理と置き換えられる．これなら，平行線の公理以上に証明できそうですがもちろん証明はできません． これらの内容は 高木貞治著 数学雑談 共立出版 を参考にするとよい． なお，１次分数変換を不動点を用いて視覚的にとらえる方法は Ahlfors著 笠原乾吉訳 複素解析 現代数学社 に詳しい．あわせて参考にしていただきたい． 第５公準と同値命題 目次に戻る 微分幾何 |