平面$\pi$上に円盤$D$を定め（周上は含まない），円盤$D$の周を円$C$とする．この円を境界円という
射影変換$\pi \to \pi$で$D$の像が$D$であり，かつ$C$の像が$C$であるもの全体を$\Omega$とする．
$D$内の図形$A,B$に対して
$f:A \to B$
となる$f\in \Omega$が存在するとき$A$と$B$は合同であるといい
$A\equiv B$
と表す．
$\Omega$の元を$D$の双曲運動といい，$D$の双曲運動で保たれる性質を調べる$D$の幾何学を双曲幾何と呼ぶ．

まず，$D$における点，直線，半直線を定義する．
点は$D$内の点である．
直線は直線の$D$内の部分である．すなわち，境界円$C$上に2点$P,Q$をとるとき，線分$PQ$の$D$内の部分，すなわち$P,Q$ を除いた部分である．
半直線は$D$の内部の点と周上の点を結ぶ線分の$D$内の部分である．
線分は$D$内の2点間を結ぶ線分である．

合同である図形を調べよう．
すでに示したことであるが，どの2点も合同である．
命題
2つの半直線は合同である．
証明
$AP,BQ$をそれぞれ半直線とする．
円盤$D$の中心を$O$とする． $A\mapsto O$である双曲運動を$f$，
$B\mapsto O$である双曲運動を$g$とする．
双曲運航で境界円$C$の像は境界円$C$であるから半直線の像は半直線であり
$f:AP\mapsto OP',g:BQ \mapsto OQ'$
とすると，2つの半径$OP',OQ'$は原点の周りの回転変換で重なり，回転変換は射影変換である．その射影変換を
$S:OP'\mapsto OQ'$
とすると
$g^{-1}\circ S\circ f:AP\mapsto OP'\mapsto OQ'\mapsto BQ$
より$AP\equiv BQ$が分かる．

同様に任意の2直線も合同である（直線$PQ,RS$上にそれぞれ$A,B$をと り$f:A\mapsto O;g:B\mapsto O$を考える）．
次に線分の合同について考える．
任意の線分が合同かというとそうはいかない．射影変換は複比を保つからである．
$A,B\in D$とし，直線$AB$と境界円$C$との交点を$P,Q$とする．なおここでは，$AB$の$B$への延長上に点$P$をとる．
$f$を双曲運動とすると$f$は複比を保つから
$[f(A),f(B);f(P),f(Q)]=[A,B;P,Q]$
が成り立つ．
逆に
$A,B,A',B'\in D$で直線$AB$と境界円$C$との交点を$P,Q$,ただし$P$は$AB$の$B$への延長上に取る．同様に 直線$A'B'$と境界円$C$との交点を$P',Q'$,ただし$P'$は$A'B'$の$B'$への延長上に取る．
もし，
$[A,B;P,Q]=[A',B';P',Q']$
を満たすなら，双曲運動で
$A\mapsto A',B\mapsto　B'$
となるものが存在する．
実際，2つの半直線は合同であるから
$AP \mapsto A'P'$
となる双曲運動が存在する．その双曲運動を$f$とする．
$f(A)=A',f(P)=P',f(Q)=Q'$
であり，
$[f(A),f(B);f(P),f(Q)]=[A,B;P,Q]$
および仮定より
$[A',B';P',Q']=[A,B;P,Q]$
したがって，
$[A',B';P',Q']=[A',f(B),P',Q']$
より
$f(B)=B'$
が成り立つ．(複比の基本的計算は複比の定義を参照)
したがって
$f:AB\mapsto A'B'$
を満たす．

つぎに双曲平面$D$における2点$A,B$間の距離すなわち線分$AB$の長さを定義しよう．
今までの議論より，線分$AB$に対して直線$AB$と境界円$C$との交点を，$AB$の$B$への延長上の方を$P$,$A$ への延長上の方を$Q$とし，線分$AB$の長さを複比
$[A,B;P,Q](=\dfrac{AP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{AQ})$
で定義すればよさそうだがそうはいかない．なぜならば
線分$AB$上に$E$を取ったとき
$AB$の長さと$AE,EB$の長さの和が等しくなければならないが，
$[A,B;P,Q]=\dfrac{AP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{AQ}$
と
$[A,E;P,Q]+[E,B;P,Q]$
$=\dfrac{AP}{EP}\cdot \dfrac{EQ}{AQ}+\dfrac{EP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{EQ}$
は等しくならない．
しかし
$[A,E;P,Q]\cdot [E,B;P,Q]=(\dfrac{AP}{EP}\cdot \dfrac{EQ}{AQ})\cdot (\dfrac{EP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{EQ})$
$=\dfrac{AP}{AQ}\cdot \dfrac{BQ}{BP}$
$=[A,B;P,Q]$
が成り立つので，2点$A,B$間の長さを
$\log [A,B;P,Q]$
で定義すれば解決する．
$P,Q$の取り方より
$[A,B;P,Q]\geqq 1$
である．
この距離を2点$A,B$間の双曲距離または線分$AB$の双曲長といい$d(A,B)$と表す．すなわち
$d(A,B)=\log [A,B;P,Q]　\cdots (*)$
である．
なお，多くの射影幾何の教科書で，2点間の双曲距離はロバチェフスキーの定義に従い
$d(A,B)=\dfrac{1}{2}\log [A,B;P,Q]\cdots (**)$
としている．§９では$(**)$を用いるが，それまでは$(*)$を用いる．

円盤$D$内の2点を与えたとき双曲距離を考えるときもあるし，ユークリッド距離を考えるときもある． 双曲距離は$d(A,B)$と表し，ユークリッド距離は$AB$と表すことにする．
$[A,B;P,Q]=\dfrac{AP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{AQ}$
$[A,B;Q,P]=\dfrac{AQ}{BQ}\cdot \dfrac{BP}{AP}$
より
$[A,B;P,Q]=\dfrac{1}{[A,B;Q,P]}$
である．
したがって，
$\log [A,B;Q,P]=-\log [A,B;P,Q]$
したがって
$d(A,B)=\log |[A,B;P,Q]|$
と定義すれば，$P,Q$をどちらにとってもよいが，ここでは$P$は線分$AB$の$B$への延長上に取ると定義した．
例えば線分$d(B,A)$は線分$BA$の$A$への延長上に$P$を,$B$への延長上に$Q$をとり
$d(B,A)=\log [B,A;P,Q]$
で定義する．

ここまでの内容は次のように述べることができる．
命題
双曲平面においての2つの線分$AB,A'B'$について，
$AB\mapsto A'B'$
を満たす双曲運動が存在するなら$d(A,B)=d(A',B')$であり，
逆に
$d(A,B)=d(A',B')$
なら$AB\mapsto A'B'$となる双曲運動が存在する．

線分$AB$の$B$の延長上に点$X$を取り$X$を境界円上の点$P$に近づけた場合の$d(A,X)$を考える．
$[A,X;P,Q]=\dfrac{AP}{XP}\cdot \dfrac{XQ}{AQ}$
において，$X\to P$のとき$XP \to 0$
であるから
$X\to P$のとき$d(A,X)\to \infty$
が成り立つ．このことは，境界円$C$上の点は無限遠点であることを示している．

例
中心が$O$の単位円で，一つの半径上に点$X$を取ったとき$d(O,X)$を調べよう．
$OX=x \ \ (0 < x < 1)$
と置く．
$d(O,X)=\log [O,X;P,Q]=\log \dfrac{1+x}{1-x}$
であるから，
$0 < x < 1$で$d(O,X) > 0$
である．
さらに$x=0$のとき$[O,X;P,Q]=1$，
$0 < x < 1$で$[A,X;P,Q]$は単調増加，
さらに$x\to 1-0$のとき$[A,X;P,Q]\to \infty$
であるから，任意の正の数$k$に対して$d(O,X)=k$を満たす$X$はただ一つ定まる． 半直線は合同であるから，端点が円の中心でない一般の点でも成り立つ．

§4.角の定義

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