ここでは，これからの議論のもとになる，円を円に移す射影変換について述べる．
平面から平面への射影変換の定義から始める．
1対1，上への写像
$f:U\to V$
で$U=V$のとき,すなわち
$f:U\to U$
のとき$f$を$U$の変換という．
定義
$\pi$を平面とする．$\pi$の変換，すなわち，1対1，上への写像
$f:\pi \to \pi$
で，次の2条件を満たすとき，$f$を射影変換という．
$(1)$ 直線の像は直線である．
$(2)$ 直線上にある4点の複比を変えない．

(1)は一直線上にある点の像は一直線上にあると書く場合もある(共線の像が共線)．
(2)は$A,B,C,D$が一直線上にあるとき
$[A,B;C,D]=[f(A),f(B);f(C),f(D)]$
を満たすことである．

射影変換の背景にあるのは中心射影である．中心射影を説明する．
空間内に交わる２平面$\pi,\pi '$と2平面上にない点$O$を与える．
$f:\pi \to \pi ';P\mapsto P'$
を$P'$を直線$OP$と平面$\pi '$の交点で定義する．この写像$f$を $O$を極とする中心射影または極射影という．
中心射影の合成は中心射影で表せない．したがって，議論を進めるには中心射影は扱いづらい． 中心射影の重要性質を抜き取って作り上げたのが射影変換である．
中心射影$f$で$\pi$上の直線の像は直線である．実際，直線と極$O$の定める平面と$\pi '$ との交線を考えればよい．
しかし，中心射影をもう少し丁寧に見てみよう．問題点があることが分かる(右上図)．
極$O$を通り$\pi '$と平行な平面と$\pi$との交線を$l$とすると$l$上の点$Q$の像は$\pi '$上にはなく，直線$l$の像は $\pi '$上の直線ではない．
同様に，極$O$を通り$\pi$と平行な平面と$\pi '$との交線を$m$とすると，$m$上の点$R'$の原像はなく，直線$m$の原像である直線もない．
また，$l$上の点$Q$で交わる2直線の像は交わらないので$\pi '$上で平行である．
したがって，$f$が1対１上への写像であるためには，$\pi '$に直線$l$上の点の像，すなわち$l$の像である直線，$\pi$上に$m$上の点の原像， すなわち，$m$の原像である直線が必要である．
以上の考察より，各直線上に1点特別な点，これを無限遠点と呼ぶ，を付け加え，平面上にすべての無限遠点を通る特別な直線，これを無限遠直線という， を付け加えると中心射影
$f:\pi \to \pi '$
は1対1，上への写像になる．
以後平面は無限遠点，無限遠直線も考える．
ちなみに，平面に無限遠点，無限遠直線を加えたものが射影平面である．

次に複比について述べる．
直線$AB$上に点$P$があるとき
$AP:BP$
を$A,B$を基点とする分点$P$の単比という．
ここで
$AP:BP$は$\frac{AP}{BP}$のことである．また，ここで$AP,BP$は有向線分で
$AP=-PA,BP=-PB$
が成り立つ．
直線$AB$上に2点$P,Q$があるとき
$A,B$を起点とする，分点$P$の単比と分点$Q$の単比の比すなわち
$(AP:BP):(AQ:BQ)=\dfrac{AP}{BP}÷\dfrac{AQ}{BQ}$
を$[A,B;P,Q]$と表す．すなわち
$[A,B;P,Q]=\dfrac{AP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{AQ}$
である．
中心射影
$f:\pi \to \pi '$において
$\pi$上の点$A,B,P,Q$が一直線上のあるとき(共線のときということが多い)

$[A,B;P,Q]=\dfrac{AP\cdot BQ}{BP\cdot AQ}$
$=\dfrac{\triangle OAP\cdot \triangle OBQ}{\triangle OBP\cdot \triangle OAQ}$
$=\dfrac{OA\cdot OP \sin \angle AOP\cdot OB\cdot OQ \sin \angle BOQ}{OB\cdot OP \sin \angle BOP\cdot OA\cdot OQ \sin \angle AOQ}$
$=\dfrac{\sin \angle AOP \sin \angle BOQ}{\sin \angle BOP \sin \angle AOQ}$
したがって複比は$OA,OB,OP,OQ$の２線分のなす角で決まるので，中心射影で複比が保たれることが分かる．

準備は整いました．
これから考えるのは
平面$\pi$上に円盤を定め，円盤の内部の点は円盤の内部，円盤の周上の点は円盤の周上に変換される射影変換全体を$\Omega$とする．
ここで用いる平面は，直線上に１点無限遠点をもち，すべての無限遠点よりなる無限遠直線を含むものです．
平面$\pi$上に定めた円盤の内部を$D$,周を$C$とする．
まず，$\Omega$がどのような変換を含むかを調べよう．
射影変換の定義は
$(1)$ 直線の像は直線である．
$(2)$ 直線上にある4点の複比を変えない．

であるから，合同変換すなわち，ある点の周りの回転変換，ある直線に関する対象変換，および平行変換は射影変換である．
$\Omega$は$D$を$D$にうつす射影変換であるから，円盤$D$の中心を$O$とすると，
$(1) \ O$の周りの回転変換
$(2) \ O$を通る直線(円の直径)に関する対称変換
は$\Omega$に含まれる．

次に中心射影を考える．円錐を平面で切った時の切り口は一般に２次曲線であるから円ではない(右図）．斜円柱でも同様のことが成り立つ, なぜなら斜円柱面も2次曲面で平面で切った切り口は2次曲線である．
しかし，中心射影でも円の像が円になる場合がある．それは，球面極射影である．
詳しい内容はユークリッド幾何への応用にある．証明はそちらを読んでもらうとして，ここでは成り立つ命題のみを 述べる．
命題1
球面上の円(球面と平面の交線)の球面極射影による像は円か直線である．

補助命題
$C$は平面$\pi$上の円で，直線$l$は$\pi$上の円$C$と交わらない直線である．
このとき，平面$\pi$から適当な場所に置いた平面$\pi '$への中心射影で．
$C$の像は円でかつ直線$l$の像は平面$\pi '$上の無限遠直線である．
を満たすものが存在する

命題2
$C$は平面$\pi$上の円で，点$A$は円$C$内の任意の点である．
このとき，平面$\pi$から適当な場所に置いた平面$\pi '$への中心射影で
$C$の像は円でかつ$A$の像は円$C$の像である円の中心である
を満たすものが存在する．

命題1より，円の像が円である中心射影
$f:\pi _1\to \pi _2$
が存在することがわかり，2平面$\pi _1,\pi _2$をそれぞれ上の円の中心が重なるように平行変換で重ねる．平行変換は射影変換である．さらに，ある点の周りの相似変換は 射影変換であるから，2つの円が重なるように$\pi _2$に相似変換を行なうことにより
円の内部$D$を円の内部$D$にうつし，円の周$C$を円の周$C$にうつす，射影変換
$f:\pi \to \pi$
が存在することが分かる．
命題2より，次が成り立つことが分かる．

命題3
$P$を円の内部$D$の任意の点，$O$を円の中心とする．
$D$を$D$にうつす射影変換
$f:\pi \to \pi$
で$P$の像が$O$であるものが存在する．

平面$\pi$上($\pi$は直線上に無限遠点をもち，その無限遠点よりなる無限遠直線を持つ)に 円盤$D$を定め，$D$の像が$D$である平面$\pi$上の射影変換
$f:\pi \to \pi$
を双曲運動いう．双曲運動全体を$\Omega$で表す． クライン流で述べるなら，これから行うことは，$D$内の図形で双曲運動で保たれる性質を調べることである．$D$を双曲平面といい，$D$における幾何学を双曲幾何という．

命題3より次のことが分かる．
命題4
$P,Q$を$D$内の任意の点とする．このとき
$P\mapsto Q$
である双曲運動が存在する．
証明
円盤$D$の中心を$O$とする.
双曲運動$f,g$を
$f:P\to O$
$g:Q\to O$
で定めれば$g^{-1}\circ f$が求めるもの．

なお，双曲運動全体$\Omega$が群になることは述べてなかったが，射影変換全体は群であり， $f,g$による$D$の像が$D$のとき，$f\circ g,f^{-1}$による$D$の像も$D$であるから合成の演算について閉じている. このことより $\Omega$は合成の演算で群をなすことがわかる.
命題4より$D$の各点はどの点も平等である．命題4の性質を$\Omega$が$D$に推移的に作用するという．

§3.長さの定義

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