まず，これから述べる内容の概略を述べる．
ユークリッド平面$\pi$上に円盤を定め，円盤の内部の点は円盤の内部，円盤の周上の点は円盤の周上に変換される射影変換全体を$\Omega$とする(射影変換の定義は後述)．
このような変換を円盤を保つ$\pi$の射影変換という．
先ず，恒等写像を$\mathrm{id}$で表せば
$\mathrm{id}\in \Omega$
$f,g\in \Omega$のとき$f\circ g\in \Omega$
$f\in \Omega $のとき，$f^{-1}\in \Omega$
が成り立つことに注意する．
以後，平面$\pi$上に定めた円盤の内部を$D$，円盤の周を$C$とする．
$D$における幾何学を次のように定める．
$D$上の点が点であり，$D$に含まれる線分が線分である．
$A\in D,P\in C$のとき，線分$AP$の$D$の部分($P$を除いた部分)が半直線$AP$であり，$P,Q\in C$の時線分$PQ$の$D$の部分が直線$PQ$である．
$D$における2つの図形$S,S'$に対して
$S \mapsto S'$
となる$\Omega$の元が存在するとき，$S$と$S'$は合同であると定め
$S\equiv S'$
と表す．
合同な図形は同じ図形と考え，同じ図形が持つ性質，すなわち$\Omega$で保たれる性質を調べる幾何学を$D$上に$\Omega$を付属させた幾何学といい， この幾何学を$(D,\Omega)$と表す．
これがクラインが主張する幾何学の定義である．
次に，線分の長さと角の大きさを定義する．
2つの線分$AB,A'B'$で
$AB\equiv A'B'$
のとき，$AB,A'B'$の長さが等しいように線分の長さを定め，$(D,\Omega)$における2点$A,B$の定める線分の長さを$d(A,B)$表す．
次に，$D$における2つの半直線$AP,AQ$および$A'P',A'Q'$に対して
$AP\equiv A'P',AQ\equiv A'Q'$または$AP\equiv A'Q',AQ\equiv A'P'$
すなわち
$f:A\mapsto A',P\mapsto P',Q\mapsto Q'$
または
$f:A\mapsto A',P\mapsto Q',Q\mapsto P'$
となる$f\in \Omega$が存在するとき$AP,AQ$のなす角と$A'P',A'Q'$のなす角が等しいように角の大きさを定義する．
$(D,\Omega)$における2つの半直線$AP,AQ$のなす角の大きさを$\delta PAQ$と表す.
これらの準備で，$(D,\Omega)$において点や線分，三角形，多角形等の直線図形の議論ができる．
$(D,\Omega)$において，ユークリッド原論の公準1から公準4を満たすことを確認し， 平行線の公理である公準5については，公準5の否定を満たすことを示す．
これによって，公準5は公準1から公準4と両立することがわかる．この内容を示すことが目的の一つである．
さらに，$(D,\Omega)$における，ユークリッド幾何とは異なる性質を中心に説明する．

以上が予定している内容である．射影幾何については必要な知識はその都度説明してある． 高校までで学ぶ知識で十分理解できると思う．


§2.円を円にうつす射影変換

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