双曲幾何のこれまでの内容を振り返ります． 一つの実２次曲線の内部が対象です．
長さと角の大きさが定義されました．さらに，三角形の辺と角の関係である正弦定理， 余弦定理が導き出されました．

これは驚くべき性質です．これは，三角形がどこにあっても 成り立つということです．
これが成り立つ曲面は限られることが分かりますか． たとえば右の楕円面では成り立ちません． ある場所で三角形を作り，それを切り抜いて ほかのどの場所でもしわなくはれるわけではありません．
正弦定理，余弦定理が成り立つことは，どの場所も同じような曲がり方をして いるということです．(これは微分幾何の言葉を借りれば定曲率を意味しています)
すなわち，双曲平面は平面や球面と同じような曲面なのです．
双曲平面でユークリッド原論の公理を満たすかどうかはあと扱います．
球面には半径があり，半径$r$が大きくなると球面は局所的に見れば平面に近づきます．
双曲平面を見てみましょう．
距離を定義するとき距離の測度定数が出てきます．実際，距離の定義は
２次曲線$\Gamma$の内部の２点$A,B$に対して，直線$AB$と$\Gamma$の交点を$P,Q$とする．このとき， ２点$A,B$間の距離$d(A,B)$を
$d(A,B)=\dfrac{k}{2}|\log [A,B;P,Q]|$
で定義した．ここで$k$は測度定数である．
$k$は正なら何でも構いません．
$k$の意味を知るには平行角が分かりやすい．
平行角の定義は次の通り．

絶対形内の直線$l$と$l$上にない点$A$について，直線$l$と絶対形との交点を$B,C$, $A$から直線$l$に下した垂線の足を$H$とする．このとき，$\angle HAB=\angle HAC$ が成り立ちこの角を長さ$AH$に対する平行角という．
長さ$d$に対する平行角$\Pi (d)$は
$\tan \frac{\Pi (d)}{2}=e^{-\frac{d}{k}}$
を満たす．
平行角$\Pi (d)$は$0 < \Pi (d) < \frac{\pi}{2}$であり$k\to \infty$のとき $\Pi (d)\to \frac{\pi}{2}$が成り立つ．
したがって，距離の測度定数$k$を大きくしていけばユークリッド平面に近づく と考えることができ,測度定数は球面の半径に対応すると考えることができる．

２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$で点$B$を２次曲線$C:x^2+y^2-z^2=0$に 近づけたとき
$d(A,B)\to \infty$
となる．
これは，$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$のとき
$a=(a_1,a_2,a_3)\cdot (a_1,a_2,a_3)=a_1^2+a_2^2-a_3^2,$
$b=(b_1,b_2,b_3)\cdot (b_1,b_2,b_3)=b_1^2+b_2^2-b_3^2,$
$c=(a_1,a_2,a_3)\cdot (b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3$
で$a,b,c$を定めるとき，
$\tanh \frac{d(A,B)}{k}=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{|c|}$
からわかる．
$c\neq 0$については
$A$の極線$a_1x+a_2y-a_3z=0$は２次曲線$\Gamma$と交わらない．
もし共有点があると仮定すると，$\Gamma$は自己共役点の集合より，共有点における接線が点$A$ をとおる．これは$A$が内部の点($\Gamma$の接線が通らない点)に矛盾．
したがって，$\Gamma$上の任意の点$(b_1,b_2,b_3)$に対して
$c=a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3\neq 0$
よりわかる．
したがって，２次曲線$\Gamma$上の点は無限遠点，曲線$\Gamma$は拡大アフィン平面における 無限遠直線に対応するものである．
上の，平行角の説明で用いた図の$\triangle AHC$で 正弦定理
$\dfrac{\sin C}{\sinh \frac{AH}{k}}=\dfrac{\sin A}{\sinh \frac{HC}{k}}$
より
$\angle C=0$
であることが分かる．
すなわち，無限遠点から出ている２直線のなす角は$0$である．
次に三角形の内角の和を求めよう．
まず直角三角形の内角の和を求めて，一般の三角形はそれを２つに分割するという自然な方法を用いる．
まず，上の平行角で用いた図の$\triangle AHC$注目する．
$\angle A=\Pi (AH),\angle H=\frac{\pi}{2},\angle C=0$
より
$A+H+C=\dfrac{\pi}{2}+\Pi (AH) < \pi$
がなりたつ．$0 < \Pi (AH) < \frac{\pi}{2}$より三角形の内角の和は$\pi$より小さいことが予想できる．
一般の$\angle A=\frac{\pi}{2}$の直角三角形$\triangle ABC$でしらべよう．
$\dfrac{BC}{k}=\tilde{a},\dfrac{AC}{k}=\tilde{b},\dfrac{AB}{k}=\tilde{c}$とおくと
$\cos (B+C)=\cos B\cos C-\sin B\sin C$
$=\dfrac{\tanh \tilde{c}}{\tanh \tilde{a}}\dfrac{\tanh \tilde{b}}{\tanh \tilde{a}}-\dfrac{\sinh \tilde{b}}{\sinh \tilde{a}}\dfrac{\sinh \tilde{c}}{\sinh \tilde{a}}$ $=\dfrac{\sinh \tilde{b}\sinh \tilde{c}\cosh \tilde{a}}{\sinh ^2\tilde{a}} -\dfrac{\sinh \tilde{b}\sinh \tilde{c}}{\sinh ^2\tilde{a}} \ (\because \cosh \tilde{a}=\cosh \tilde{b}\cosh \tilde{c})$
$=\dfrac{\sinh \tilde{b}\sinh \tilde{c}}{1+\cosh \tilde{a}} > 0$
したがって
$B+C < \dfrac{\pi}{2}　\ \ \therefore A+B+C<\pi$
ここで，注目することは，$\sinh 0=0$であるから，$b,c$が小さければ$B+C$は$\frac{\pi}{2}$に近づくことです．
すでに，長さの測度係数$k$が大きければユークリッド平面に近づくと述べましたが，三角形の内角の和も同じです．

一般の三角形は２つの直角形に分け，$A=A_1+A_2$に分け
$(A_1+B+\dfrac{\pi}{2})+(A_2+C+\dfrac{\pi}{2}) < 2\pi$
より
$A+B+C < \pi$
が成り立つ．
$\triangle ABC$において$\pi -(A+B+C)$を$\triangle ABC$の不足角という．


16.非ユークリッド幾何

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