projectivegeometry

§16. 非ユークリッド幾何

ここまで，２次曲線$\Gamma$を絶対形とし，その内部で２点間の距離や角の大きさを定め正弦定理，余弦定理を導き出し，いくつかの特異的な性質を調べました．
クラインは双曲幾何を射影平面の応用例として作ったのではなく，非ユークリッド幾何の一つのモデルとして作りました．このモデルをクラインモデルという．クラインモデルを用いて非ユークリッド幾何を説明します．

まず，ユークリッド幾何の復習をしましょう．
なお，ここで扱うユークリッド原論の内容は
中村幸四郎他訳　　ユークリッド原論　　共立出版
を用いました

ユークリッド原論は点，直線，角，円等の定義を述べた後，これから議論を進めるうえで認めるものとして次の５つを挙げました．それを公準といいます．
それは次の通りです．
5つの公準
$1.$ 任意の一点から他の一点に対して一つ，そして唯一つの直線を引くこと
$2.$有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること
$3.$任意の中心と半径で円を描くこと
$4.$すべての直角は互いに等しいこと
$5.$1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば，この2直線を限りなく延長させると2 直角より小さい角のある側で交わる．

さて，ここで挙げた５つの公準を読んでどう思いますか．$1$から$4$までは，この程度は認めないと何もできないなと納得できるでしょう．しかし，$5$は内容も複雑で，これは$1$から$4$より証明できるのではないかと感じるのは自然なことです．実際ユークリッドもできるだけ$5$は用いないで，すなわち命題28までは公準$5$を用いず，命題29で初めて使っています．
ここでは，第５公準について説明します．
まず第５公準を分かりやすく書き直します．
「1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば」
とあります．これは日本の教育では
「同側内角の和が２直角より小さくするならば」
となります．片方の側が$180^{\circ}$より小さければもう一方の側は$180^{\circ}$より大きくなります．さらに結論のどちらで交わるかは本質でありませんから，第５公準は次のようになります．
第5公準
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
同側内角の和が$180^{\circ}$でない　$\Longrightarrow \ \ m,n$は交わる

同側内角の和が$180^{\circ}$は錯角（同位角）が等しいことと同値ですから，次のように言い換えてもかまいません．

　 第5公準
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しくない　$\Longrightarrow \ \ m,n$は交わる

対偶を用いれば次のようになります．なお，２直線が交わらないことが平行線の定義です．

第5公準
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
$m,n$が平行　$\Longrightarrow　$錯角が等しい

第５公準が見えてきました．それでは，第5公準の逆の命題はどうなるのでしょうか．
それはユークリッド原論の第27命題です．この命題は第5公準を用いない，すなわち第1公準から第4 公準だけを用いて証明されている点，そしてそのことが重要なことです．

第27命題
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しい$\Longrightarrow \ m,n$が平行

証明
錯角が等しいのに$m,n$は点$P$で交わると仮定する．
右図で，$PB$の延長上に点$Q$を
$BQ=AP$
を満たすようにとる．2辺とその間の角が等しいから
$\triangle PAB \equiv \triangle QBA$
$\therefore \angle QAB=\angle PBA$
$\therefore \angle QAB +\angle PAB=\angle PBA+\angle QBA=\pi$
したがって，3点$Q,A,P$は一直線上にあり2直線$m,n$は2点で交わり矛盾．したがって証明された.

この証明の根拠となる合同条件は第４命題である．なお，ここの証明はユークリッド原論の証明を書き直した．

第５公準とその逆である命題27の違いは分かるだろうか．
右上の図を用いて説明すると，
第27命題は錯角が等しいければ平行であるということです．これは，直線$m$と$m$上にない点$B$が与えれたとき，$B$を通る平行な直線が存在することです．実際，$B$を通る直線$l$を引き，錯角が等しい直線$n$を引けばよい．
錯角が等しくない場合は何もいっていない．
それは，逆の命題をその対偶すなわち裏を考えるとよい．

第27命題の裏
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しくない$\Longrightarrow \ m,n$が平行でない($m,n$は交わる)

によってすべての場合が分かる．
したがって，第５公準は次のよう書くことができる．

第５公準
一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき， $A$を通って$m$に平行な直線は唯一つに限る．

文章としては
「一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な直線は存在して唯一つに限る．」
のように，存在してを入れたほうが自然ですが，存在するは証明されるので，第５公準のように書かざるを得ないわけです．

第５公準は，逆の命題が簡単に証明できるので，多くの人が証明できると考えたのでしょう．
はたして，「第５公準が第１公準から第４公準で証明できるか否か」
これが平行線の公準問題といわれるギリシャ以来の大難問です．
この問題をこれから解決していきます．
「公準1～公準4」 $\Longrightarrow$　公準5
を証明するのに，まず直接証明しようとすると，なかなかうまくいかない．
そこで背理法を考えるのは自然の成り行きです．
「公準1～公準4」を満たしてかつ公準5を否定したとき矛盾を導き出そうと考えました．
この問題に対して，ボリアイ(Bolyai),ロバチェフスキー(Lobatschfskij),ガウス(Gauss)により矛盾しない，すなわち「公準1～公準4」と公準5の否定は両立することが証明されました．
証明は難解で理解されなかったが，クラインやポアンカレにより非ユークリッドモデルが作られ，これにより第１公準から第４公準と第５公準の否定が両立することが多くの人に理解されるようになった．

前書きが長くなりましたがこれからが本題です．

「公準1～公準4」と公準5の否定が両立することをクラインが作った２次曲線を絶対形とするその内部で説明します．
公準1 任意の一点から他の一点に対して一つ，そして唯一つの直線を引くこと
公準2 有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること
右図で，$P,Q$は無限遠点であるからこの２つの公準は成り立ちます．

公準3 任意の中心と半径で円を描くこと
任意の点$A$と$A$を通る直線が与えられたとき，この直線上に与えられた半径$r$に対して
$AP=r$
を満たす点$P$が取れることです．
円の方程式は
$A(a_1,a_2,a_3)$を中心とする半径$r$の円上の点$P(x,y,z)$は
$\dfrac{(ax+by-cz)^2}{(a_1^2+a_2^2-a_3^2)(x^2+y^2-z^2)}=\cosh \dfrac{r}{k}$
となることからもわかる．

公準4
すべての直角は互いに等しいこと
これは，分かりづらく，私はすべての直角は互いに重ね合わせることができるという意味だと解釈している．
ユークリッド原論を読み返してみよう．
まず，
直線とは点がまっすぐに並んだ線である．
角とは平面上で交わり同一直線上にない２つの線の間の傾きである．
2つの線が直線であるときの角を直線的な角という．
が直線，角の定義である．
第４命題を見てみよう．これは２辺夾角の合同条件である．
第４命題
２つの三角形において，２つの辺がそれぞれ等しくその２辺にはさまれる角が等しいならば底辺も等しく２つの三角形は等しい．

の証明は次のようになっている．
証明
$\triangle ABC$と$\triangle DEF$を重ね合わせ，点$A$は点$D$に，直線$AB$は直線$DE$ と一致するようにする．
このとき$AB$と$DE$の長さが等しいことから点$B$は点$E$ に一致する．
$AB$と$DE$が一致することと$\angle BAC$が$\angle EDF$に等しいことから直線$AC$と直線$DF$も一致する．(以下略)

このように，２つの角が等しく，辺の片方を重ねればもう一方が重なることを認めている．
これは一般の曲面では成り立たないことです(§15の楕円面を見れば分かる)．すなわち
公準4
すべての直角は互いに等しいこと

はすべての直角は重ね合わせることができる，言い方を変えれば，ある場所で切った直角三角形を自由に他の場所で貼り付けることができることを意味しています．
ということは，２辺とその間を定めれば残りの辺の長さが確定します．三角形の余弦定理，正弦定理が成り立つことは，三角形が自由に移動できることを意味しています．
ロバチェフスキーの論文「非ユークリッド幾何」を読むと
概念を述べ，三角形の正弦定理，余弦定理を証明し，自分の考えた幾何学（想像の幾何学と本人は言っている）が十分な根拠を持っているといって終わっている．
私は，ロバチェフスキーの論文を読みこなす力はないので，このようなことを書くのは気が引けるのであるが，読んだとき，なぜこれで平行線の問題が解決するのかわからなかった．公準５が成り立たずかつ各点が均一の曲がり方をしている空間を作りあげたことを主張していると理解した．
このように見ると，ユークリッド幾何で考えている平面はなんであろうかという疑問が出てくる．
それに対してリーマンは就職論文で次のように答えた．
ユークリッド幾何では，ユークリッドからルジャンドル(19世紀の著名な数学者．晩年初等幾何の研究に没頭した)に至るまで，どこで幾何学をしているかがはっきりしていないことが問題である．
これまで，曲面を考えるとき，曲面に含まれる曲線の長さだけに関係する量と曲面外の点との位置関係が常に一緒になっていた．しかし長さを変えない変形で変わりうるものを同一のものとみなせば，外的な条件を除外して曲面の研究ができる．幾何学の対象の問題は，ガウスが曲面論で行ったように曲面を第１基本形式だけで考え，定曲率空間は２点間に等長写像が存在するので図形を移動できること(図形を切り取って別の場所でしわなく貼り付けることができる)に注目すれば解決する．すなわち，曲面の研究は一般の曲面で研究すべきで，その立場に立つなら，ユークリッド幾何，非ユークリッド幾何は定曲率曲面の曲率$0$の場合と負の場合である．

このリーマンの就職論文はリーマン死後デディキンドによって発表されたのであるが，その時のことをクラインは次のように述べている．
「その時の驚きは大変なものだった．それは私がちょうど独り立ちで自分の問題を研究し始めた頃だったので，リーマンの思想が如何に異常な印象を若い数学者に与えたか，今でもその記憶が鮮やかである．論文に書いてあることは曖昧で理解しにくいことが多かったが，また底知れない深さがあった．」
50年後（1919年）相対論の発表により注目され，単行本が出版される際，ワイル(Hermann Weyl)が序言を寄せその中で
「R.デディキンド，H.ウェーバーによりリーマン全集が出版されて以来，リーマンの深い思想をもつ就職公演は一般に近づけるようになった．それにもかかわらず，私は今回の出版の提案に大賛成である．なぜなら，内容だけでなくその表現に関しても驚嘆すべき傑作であるこの著述ができるだけ多くの人に行き渡ることが望ましいと考えるからである．・・・」
と述べている．この単行本の中で，ワイルは解説を書いている．読んでみるとリーマンの著述はとても難解で手に負えるものではありません．ワイルのこの解説書（といっても難解です）のおかげでリーマンの思想に近づけ，広まったのではないかと思う．多分，ユークリッド幾何の研究より，平面とは何かの深い疑問と研究があってはじめて内容が理解できるのでしょう．

話をもどそう．
２次曲線$\Gamma$を絶対形とする，その内部の幾何学が公準1から公準4までは満たすことが分かった．
第5公準を見てみよう．書き換えた第5公準は

第5公準
一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき， $A$を通って$m$に平行な直線は唯一つに限る．

である．これは満たさないことは，右図よりわかる．
実際，平行線の定義にもよるが，平行線を無限遠点で交わる２直線とするなら平行線は２直線$AB,AC$であり２本ある．平行線を交わらない２直線と定めるなら２直線$AB,AC$及びその２直線にはさまれる直線はすべて平行であるから無限にある．いずれにしても，第5公準は満たさない．すなわち，第5公準を否定しても矛盾しないことが分かった．

これで，
「公準1～公準4」 $\Longrightarrow$　公準5
が証明できないことが示されたのですが，まだ腑に落ちないかもしてません．
勝手に空間を作り，距離，角を定め第5公準が成り立たないことを示してもそれだけではユークリッド幾何で第１公準から第４公準と第５公準の否定が両立するとは言えないのではないか．
と考える人もいるでしょう．実際クラインが論文を発表したときの反論はすごかったと述懐しています．
クラインモデルの内容をもう一度見てみましょう．
２次曲線$C$の中に，複比を用いて距離，角を定義しました．出てくる図形は直線と２次曲線．これらはすべてユークリッドの対象です．
すなわち，ユークリッド幾何の中にクラインモデルがあるのです．
正確に言うなら，クラインモデルで行われる推論に矛盾があるというならユークリッド幾何にも矛盾があることになりますよ．
ということです．
これを高木貞治は「数学雑談」で
ユークリッド幾何学の身中に非ユークリッド幾何学の雛形が存在し得る以上は，ユークリッド幾何学が倒れなければ非ユークリッド幾何学も倒れない．非ユークリッド幾何学が倒れなければ，平行線の公理が証明せられる筈がない
と書いている．

ここで，射影平面$P^2$を用いてモデルの効用を説明する．
すでに拡大アフィン平面との関係で２次元射影平面$P^2$を述べたが，再度定義を述べる．
射影平面$P^2$とは点と直線よりなる集合で，点，直線は実３次元ベクトル空間$V^3$と次の関係がある．
1.$P^2$の点は$V^3$の１次元ベクトル空間と１対１に対応している．
2.$P^2$の直線は$V^3$の２次元ベクトル空間と１対１に対応している．
3.$P^2$の点に対応する$V^3$の１次元ベクトル空間が$P^2$の直線に対応する$V^3$の２次元ベクトル空間に含まれるなら，点と直線は結合していると呼ぶ．
これが射影平面$P^2$の定義です．
射影平面$P^2$の持つ性質をいくつか述べます．
1.$P^2$では直線によって２つの領域に分けられることがない．
2.直線上の２点$A,B$を定めても線分$AB$は２つあり，１つには定まらない．
3.２直線は必ず１点で交わる．
4.$P^2$は異なる２つの直線で，２つの領域に分けられる．

これらの性質を定義から読み取ることを難しいことです．一方，射影平面$P^2$のモデル（条件を満たす具体例）をつくり考えてみます．
まずモデルを作る．
３次元ユークリッド空間に原点を中心とする半球面が$xy$平面上に置かれている(右図参照)．
この半球面の$xy$平面上の円の原点に関して対称な点を貼り付けた（同一視した）のが２次元射影平面です．実際，射影平面の条件を満たすことは，
陰になって見づらいが，$P$と$P$,$Q$と$Q$,$C$と$C$は同じ点です．
３次元ベクトル空間$\mathbb{R}^3$の１次元部分空間たとえば直線$OA$は点$A$ に対応し，$\mathbb{R}^3$の２次元ベクトル空間たとえば$OA,OB$の定める平面は大円弧$AB$ が対応している．さらに，モデル上の結合関係は，$\mathbb{R}^3$における部分空間の関係である．
より分かる．これを半球面モデルという．
この半球面のモデルで上の性質を説明する．．
1.$P^2$では直線によって２つの領域に分けられることがない．
図で直線（大円弧）$DE$を考えよう．$A$から$B$に$DE$に交わらないでいくことができるからです．$(A\to C=C\to B)$
2.直線上の２点$A,B$を定めても線分$AB$は２つあり，１つには定まらない．
したがって，内分点，外分点の区別はできない．
3.２直線は必ず１点で交わる．
すなわち，交わらないことや２点またはそれ以上の点で交わることはない．
4.$P^2$は異なる２つの直線で，２つの領域に分けられる．
図で，直線$AB,DE$を考える．このとき４つの領域Ⅰ,Ⅱ，Ⅲ，Ⅳに分けられるように見えるがⅠとⅢ，ⅡとⅣはつながっている．
モデル（条件を満たす例）のありがたみが分かります．
モデルを用いないで，非ユークリッド幾何を作り上げた，ボリアイ，ロバチェフスキー，ガウスは桁違いの数学者であることが分かるし，モデルが未だない当時，誰も理解できないのでガウスが発表を控えると考えたことも納得できるのではないでしょうか．

17.楕円幾何

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