ここでは，双曲幾何の三角法，すなわちユークリッド幾何でいうところの正弦定理，余弦定理を扱います．
まず，直角三角形から調べます．
命題
$\angle A=\frac{\pi}{2}$の直角三角形$\triangle ABC$で次の等式が成り立つ．
$1. \cosh \frac{BC}{k}=\cosh \frac{AC}{k}\cosh \frac{AB}{k}$
$2.\cos B,\sin B,\tan B$を辺の長さで表すと次のようになる．
$\begin{cases}\cos B=\dfrac{\tanh \frac{AB}{k}}{\tanh \frac{BC}{k}}\\ \sin B=\dfrac{\sinh \frac{AC}{k}}{\sinh \frac{BC}{k}}\\ \tan B=\dfrac{\tanh \frac{AC}{k}}{\sinh \frac{AB}{k}}\end{cases}$
なお，$k$は距離の測度係数である．

証明
2直線$AB,AC$が座標軸である標準座標系をとり,$A,B,C$の斉次座標を
$A(0,0,1),B(b,0,1),C(0,c,1)$
として計算すればよい．
$\cosh \frac{BC}{k}=\dfrac{1}{\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}}$
$\cosh \frac{AB}{k}=\dfrac{1}{\sqrt{1-b^2}}, \cosh \frac{AC}{k}=\dfrac{1}{\sqrt{1-c^2}}$
より$1$が成り立つ．
３直線$AB.BC,AC$の線座標はそれぞれ
$(0,1,0),(c,b,-bc),(1,0,0)$
である．
$\cos B=\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c^2-b^2c^2}},$
$\sin B=\dfrac{\sqrt{(b^2+c^2-b^2c^2)-b^2}}{\sqrt{b^2+c^2-b^2c^2}}=\dfrac{c\sqrt{1-b^2}}{\sqrt{b^2+c^2-b^2c^2}}$
$\tan B=\dfrac{c\sqrt{1-b^2}}{b}$
一方
$\tanh \frac{BC}{k}=\sqrt{b^2+c^2-b^2c^2}$
$\tanh \frac{AB}{k}=b$
$\tanh \frac{AC}{k}=c$
$\sinh \frac{BC}{k}=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2-b^2c^2}}{\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}}$
$\sinh \frac{AB}{k}=\dfrac{b}{\sqrt{1-b^2}}$
$\sinh \frac{AC}{k}=\dfrac{c}{\sqrt{1-c^2}}$
であるから$2$も成り立つことが分かる．

次に一般の三角形$\triangle ABC$の辺と角の関係を調べる．
以下，$\triangle ABC$で辺の長さについて
$\dfrac{BC}{k}=\tilde{a},\dfrac{CA}{k}=\tilde{b},\dfrac{AB}{k}=\tilde{c}$
とおく．こうすると，$A=\frac{\pi}{2}$の直角三角形で
$\cosh \tilde{a}=\cosh \tilde{b}\cosh \tilde{c},$
$\cos B=\dfrac{\tanh \tilde{c}}{\tanh \tilde{a}}$等
となり，表記がすっきりする．

命題(正弦定理)
$\triangle ABC$で
$\dfrac{\sin A}{\sinh \tilde{a}}=\dfrac{\sin B}{\sinh \tilde{b}} =\dfrac{\sin C}{\sinh \tilde{c}}$
が成り立つ．
証明
$C$から$AB$に下した垂線の足を$D$とし，$\tilde{d}=\frac{CD}{k}$とする．
$\triangle CAD,\triangle CBD$でそれぞれ
$\sin A=\dfrac{\sinh \tilde{d}}{\sinh \tilde{b}}, \sin B=\dfrac{\sinh \tilde{d}}{\sinh \tilde{a}}$
より
$\sin A\sinh \tilde{b}=\sin B\sinh \tilde{a}$
したがって，
$\dfrac{\sinh \tilde{a}}{\sin A}=\dfrac{\sinh \tilde{b}}{\sin B}$
をえる．あとは同様にたとえば，$B$から$AC$に垂線を下せばよい．

命題(余弦定理1)
$\triangle ABC$で
$\cosh \tilde{a}=\cosh \tilde{b}\cosh \tilde{c}-\sinh \tilde{b}\sinh \tilde{c}\cos A$
が成り立つ．
証明
$C$から$AB$に下した垂線の足を$D$とし， $\frac{CD}{k}=\tilde{d},\frac{AD}{k}=\tilde{c_1}$とする(上図)．
$\triangle CAD$で
$\cosh \tilde{b}=\cosh \tilde{d}\cosh \tilde{c_1}\cdots (\sharp)$
$\triangle CDB$で
$\cosh \tilde{a}=\cosh \tilde{d}\cosh (\tilde{c}-\tilde{c_1}) =\cosh \tilde{d}(\cosh \tilde{c}\cosh \tilde{c_1}-\sinh \tilde{c}\sinh \tilde{c_1}) \cdots (\flat)$
$(\flat)/(\sharp)$より
$\dfrac{\cosh \tilde{a}}{\cosh \tilde{b}} =\cosh \tilde{c}-\sinh \tilde{c}\tanh \tilde{c_1}$
したがって
$\cosh \tilde{a}=\cosh \tilde{b}\cosh \tilde{c}-\cosh \tilde{b}\sinh \tilde{c}\tanh \tilde{c_1}$
$\tanh \tilde{c_1}=\cos A\tanh \tilde{b}$であるから
$=\cosh \tilde{b}\cosh \tilde{c}-\sinh \tilde{b}\sinh \tilde{c}\cos A$

命題(余弦定理2)
$\triangle ABC$で
$\cosh \tilde{a}=\dfrac{\cos B\cos C+\cos A}{\sin B\sin C}$
が成り立つ．

証明
余弦定理１と同じように直角三角形の関係式を利用することも可能であるが簡単ではない．
ここでは，座標軸を定め，一つ一つ計算して等式が成り立つことを示す．
$\triangle ABC$の$A$から直線$BC$に下した垂線の足を$O$とし，2直線$OC,OA$ が座標軸である標準座標系をとる(右図)．
$O(0,0,1)$であり，$A,B,C$の斉次座標を$A(0,a,1),B(b,0,1),C(c,0,1)$とする． さらに，$a,c > 0,b < 0$として計算する．
出てくる値を計算すると
$\cos B=\dfrac{-b}{\sqrt{a^2+b^2-a^2b^2}},\cos C=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2-a^2c^2}},$
$\cos A=\dfrac{a^2+bc-a^2bc}{\sqrt{a^2+b^2-a^2b^2}\sqrt{a^2+c^2-a^2c^2}}$
$\sin B=\dfrac{a\sqrt{1-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2-a^2b^2}},\sin C=\dfrac{a\sqrt{1-c^2}}{\sqrt{a^2+c^2-a^2c^2}}$
$\cosh \tilde{a}=\dfrac{1-bc}{\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}}$
である．
$\cos B\cos C+\cos A=\dfrac{a^2(1-bc)}{\sqrt{a^2+b^2-a^2b^2}\sqrt{a^2+c^2-a^2c^2}}$
$\sin B\sin C=\dfrac{a^2\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}}{\sqrt{a^2+b^2-a^2b^2}\sqrt{a^2+c^2-a^2c^2}}$
であるから命題が成り立つことが分かる．

余弦定理は文字をサイクリックに変えることにより,すべての場合を書くと
$\begin{cases} \cosh \tilde{a}=\cosh \tilde{b}\cosh \tilde{c}-\sinh \tilde{b}\sinh \tilde{c}\cos A\\ \cosh \tilde{b}=\cosh \tilde{c}\cosh \tilde{a}-\sinh \tilde{c}\sinh \tilde{a}\cos B\\ \cosh \tilde{c}=\cosh \tilde{a}\cosh \tilde{b}-\sinh \tilde{a}\sinh \tilde{b}\cos C \end{cases}$

$\begin{cases} \cosh \tilde{a}=\dfrac{\cos B\cos C+\cos A}{\sin B\sin C}\\ \cosh \tilde{b}=\dfrac{\cos C\cos A+\cos B}{\sin C\sin A}\\ \cosh \tilde{c}=\dfrac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B} \end{cases} $
となる．

平行角のところで，双曲幾何とユークリッド幾何では長さと角の扱いが異なることを述べたが， ここで証明した余弦定理２を用いるともう少し分かり易い．
ユークリッド幾何では，角度は決まるが，長さは各自が単位を決めて議論する．
１０人が１辺の長さ１の正三角形を描いたとき，角度は皆同じだが，長さは異なっている．
双曲幾何では，ユークリッド幾何と同じように角度は皆同じである．というのは射影変換で直線は直線に動くから，π(この角を平角という) は決まった大きさである．一方，双曲幾何では，たとえば内角が$\frac{\pi}{4}$の正三角形の一辺の長さは 余弦定理２より決まる．このように長さも決まってしまい単位を各自決めるという自由度はないということです． すなわち，双曲幾何には相似の概念はありません．というより球面にもないから，相似はユークリッド幾何のみに存在する概念です．
また，ユークリッド幾何は長さは各自が単位を決めて議論すると述べましたが，描く図形の大きさは人によって異なるわけです．ですから，ユークリッド幾何は， 合同変換よりは相似変換で保つ性質を調べる幾何学といったほうが正確です．

15.双曲幾何の性質

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