２次曲線$\Gamma$の内部に長さ，角度が定義された．
新しく定義された長さ，角度のもと平行角や三角形の正弦定理，余弦定理を導き出す．
これからの計算を簡単にするため，新しい座標系を導入します．なお，この座標系は双曲幾何を扱うときとても便利で， これからしばしば使います．

2次曲線$\Gamma$の内部に２直線$l,m$が与えられたとき，
$l\perp m \Longleftrightarrow l,m$は共役
が成り立つ(§11)．
$\Gamma$の内部に垂直な２直線$l,m$が与えらえたときを考える．

$m,l$の極点をそれぞれ$A,B$,さらに２直線$l,m$の交点を$C$とする.このとき， ３点$A,B,C$は自己共役三角形の３頂点である．すなわち，$A,B,C$の極線が それぞれ$m,l,n=AB$.
$AC,BC$と２次曲線$\Gamma$との交点をそれぞれ$E_1,E_2$とし， 2直線$BE_1,AE_2$の交点を$E$とする．
３点$A,B,C$を基本点,$E$を単位点とする新しい座標系$\sigma =[A,B,C;E]$を 双曲平面の標準座標系,直線$CA,CB$を座標系$\sigma$の座標軸と呼ぶ．
座標系$\sigma$で
$A(1,0,0),B(0,1,0),$
$C(0,0,1),E(1,1,1)$
であるから
$E_1(1,0,1),E_2(0,1,1)$
である．曲線$\Gamma$は$\sigma$が基点が自己共役三角形より
$k_1x^2+k_2y^2+k_3z^2=0$
さらに$E_1,E_2$を通るから
$k_1+k_3=0,k_2+k_3=0$
したがって，２次曲線$\Gamma$は
$x^2+y^2-z^2=0$
である．

平行角を説明する．
絶対形内の直線$l$と$l$上にない点$A$について，直線$l$と絶対形との交点を$B,C$, $A$から直線$l$に下した垂線の足を$H$とする．このとき，$\angle HAB,\angle HAC$ を長さ$AH$に対する平行角という．
長さ$AH=d$に対する平行角を$\Pi (d)$と表す．これはロバチェフスキーが用いた記号を 踏襲している．
平行角について次が成り立つ．

命題
$\angle HAB=\angle HAC$が成り立ち，
$\angle HAB=\theta ,AH=d$
とおくと
$\tan \frac{\theta}{2}=e^{-\frac{d}{k}}$
が成り立つ．ただし，$k$は距離の測度定数である．
証明
２直線$HC,HA$が座標軸である標準座標系で考える．
$H(0,0,1),C(1,0,1),B(-1,0,1)$
であり，
$A(0,a,1),a > 0$
とおく．
直線$AC,AB,AH$の射影座標はそれぞれ
$(a,1,-a),(a,-1,a),(1,0,0)$
であるから
$\angle HAB=\angle HAC$
が成り立つ．
次に，
$\cos \theta =\dfrac{a\cdot 1}{\sqrt{\{a^2+1^2-(-a)^2\}\cdot \{a^2+(-1)^2-a^2\}}}=a\cdots (1)$
より
$\tan \frac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-a}{1+a}}$
一方，$d$を計算する．
$A(0,a,1),H(0,0,1)$
であるから
$\tanh \frac{d}{k}=\dfrac{\sqrt{(-1)^2-(a^2-1)\cdot (-1)}}{|-1|}=a\cdots (2)$
$(1),(2)$より
$\tan \frac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\tanh \frac{d}{k}}{1+\tanh \frac{d}{k}}}=e^{-\frac{d}{k}}$
$(\because \dfrac{1-\tanh x}{1+\tanh x}=\dfrac{1-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}{1+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}=e^{-2x})$
を得る．$\blacksquare$

ここで求めた式は
$\tan \frac{\Pi (d)}{2}=e^{-\frac{d}{k}}\cdots (\sharp)$
と書くことが多い．
$k \to \infty$のとき　$\dfrac {\Pi (a)}{2}\to \dfrac{\pi}{4}$
すなわち
$\Pi (a)\to \dfrac{\pi}{2}$
すなわち，双曲平面は距離の測度定数を無限大に近づければユークリッド 平面に近づくことがわかる．

$(\sharp)$から
$d\to 0$のとき$\Pi (d) \to \frac{\pi}{2}$
$d\to \infty$のとき$\Pi (d) \to 0$
がわかる．
さて，平行角の公式$(\sharp)$を見てみましょう．$B,C$は無限遠点です．
実際$d=HB$とおけば
$\tanh \dfrac{d}{k}=1$
である．
$x^2+y^2 < z^2$で行う幾何学では直線$AB$と直線$BH$は交点が無限遠点であるから平行である．
点$P$が$H$から直線$BC$を$B$や$C$に向かっても$AH=d$とすると線分$HP$を見込む角は$\Pi (d)$を超えないということです．
このように，長さ$AH=d$と角$\angle BAH$は関係があります．
これはユークリッド幾何に慣れている私たちにとっては奇妙な感じです．
例えば，例えば正三角形や直角二等辺三角形を描けと言ったら，各自勝手に大きさを決めて描きますが，角度を決めれば大きさが決まり，大きさを決めれば角度も決まります．すなわちユークリッド幾何には単位の長さがありません．これはユークリッド幾何が相似幾何というべきもので，相似な図形で成り立つ性質が研究対象です．というより，相似というのはユークリッド幾何で成り立つ特殊な性質といった方が正確です．ですから，平行線問題解決のために相似を用いてはいけません．これらのことがこれからもっと明確になっていきます．


14.双曲幾何の正弦定理・余弦定理


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